初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）1.2 二次根式的性质第2课时学案

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）1.2 二次根式的性质第2课时学案，共8页。

情景创设：
1.长方形面积：直接计算12​×3​=36​=6；先化简12​=23​，再计算23​×3​=2×3=6，结果一致，发现根式相乘可先化简或先结合；
2.正方形边长为6​，这个根式根号内无分母、无开得尽方的因数，形式简洁。
例题精讲：
例3：解：125×81=25×81=5×9=45；
242×7=42×7=47；
359=59=53；
427=2×77×7=147.
例4：解：1−18×−24=2×9×3×8=24×33=24×33=123；
25049=5049=572；
30.001×0.5
=10−3×10−1×5
=(10−2)2×5
=(10−2)2×5
=10−2×5
=5100.
探究活动：
解：(1)每组式子中左右两边的式子的值相等；例如：6+635=6635
(2)n+nn2−1=nnn2−1(n≥2)，
证明规律：n+nn2−1=nn2−1+nn2−1
=n3−n+nn2−1
=n3n2−1
=n2∙nn2−1
=n2∙nn2−1
=nnn2−1
课堂练习：
答案：1.B；2.B；3.B；4.4，72；5.5a，b；6.2；7.2a2b；
8. 解：因为 −27−3=273 ， −27−3 有意义，而 −27−3 中的二次根式无意义，
所以该种化简过程不对。
9. 解：1a−b·ab=1a·ab−b·ab=b−ba，
当a＝3,b＝2时，
原式=b−ba=2−23.
课后练习：
答案：1.D；2.D；3.C；4.B；5.23，22；6.②④；7.A；8.B；9.A；10. a−aa2+1=aaa2+1(a为正整数)；11.B；12.C；
13. (1)②；
(2)解：−23=−22×3=−22×3=−12；
14. (1)解：点 P 与点 A 之间的距离： (x−1)2+y2
(2)解：∵x=4， y=11，P(x，y)，A(1，0) ，
∴P(4,11) ，
∴PA=(4−1)2+(11)2=25，PO=42+(11)2=33 ，
∴PA+PO=25+33 .
(3)解：∵点P位于第二象限，
∴x0.
又∵y=x+1，
∴x2+y2 =|x|+|y|=-x+y=-x+x+1=1
课题
1.2二次根式的性质第2课时
单元
一
学科
数学
年级
八
学习
目标
1.理解并掌握二次根式的乘除性质，能运用性质进行根式的乘除运算；掌握最简二次根式的定义，能将普通二次根式化为最简二次根式；
2.经历“数值猜想—规律验证—符号概括—应用化简”的过程，提升抽象概括与运算求解能力；
3.发展运算素养与推理意识，建立“性质应用—规范化简”的思维逻辑，体会数学的严谨性；
4.感受二次根式性质的实用价值，培养规范运算、细致化简的习惯，激发对根式运算的探究兴趣。
重点
1.掌握二次根式的乘除性质，能正确运用性质进行运算；
2.理解最简二次根式的标准，能将二次根式化为最简二次根式。
难点
灵活运用乘除性质化简含多重因素的二次根式(如含小数、分数、负因数乘积的根式)，确保化简过程符合性质条件，结果达到最简标准。
教学过程
导入新课
情景创设
学校要制作一块长方形的宣传展板，长为12米，宽为3米；另外要制作一个正方形的标识牌，面积与长方形展板相等。
提问引导
计算长方形展板的面积，你能直接用12×3计算吗？尝试先化简再计算，与直接计算结果是否一致？
2.正方形标识牌的边长是多少？这个边长的根式表达是否简洁？怎样的根式形式才算 “最简”？
新知讲解
探究活动一：二次根式的乘除性质
下面我们继续探索二次根式的性质。
填空：
4×9= ，4×9= ；
4×5= ，4×5= ；
916= ，916= ；
32= ，32= ；
比较左右两边的等式，你发现了什么？请再举几个例子试一试。你能用字母表示发现的规律吗？
探究活动二：例题精讲
例3：化简：
(1)25×81；
(2)42×7；
(3)59；
(4)27.
探究活动三：拓展应用
例4：化简：
(1)(−18)×(−24)；
(2)5049；
(3)0.001×0.5.
探究活动：
化简下列两组式子：
2+23= ， 223= ；
3+38= ， 338= ；
4+415= ， 4415= ；
5+524= ， 5524= ；
(1)你发现了什么规律？再写几个具有这种特征的式子，验证你发现的规律。
(2)用字母表示这一规律，并给出证明。
(请与你的同伴交流)
课堂练习
课堂练习
1.下列根式是最简二次根式的是( )
A.a2B.a+2 C.1aD.a2b
2.下列化简错误的是( )
A.1625=45B.1916=134
C.2764=383D.−715=−655
3.下列二次根式中，最简二次根式的个数有( )
①0.2②3a (a>0)③a2+b2④25
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.(−4)2 = ；
(−64)×(−81) = .
5.在下列二次根式 5a ， 2a3 ， b ， 8x 中，最简二次根式有 .
6.计算： 3×86 = 。
7.计算：48a3÷6ab= .
8.王聪学习了二次根式性质公式 ab = ab 后，他认为该公式逆过来 ab = ab 也应该成立的，于是这样化简下面一题： −27−3 = −27−3 = (−3)×9−3 = 9 =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.
10.求代数式(1a−b)·ab的值，其中a＝3，b＝2.
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识点：
1.乘除性质：
乘法性质：ab=a·ba≥0，b≥0，即积的算术平方根等于算术平方根的积；
除法性质：ab=aba≥0,b>0，即商的算术平方根等于算术平方根的商。
2.最简二次根式：
核心标准：根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式；
化简要求：最终结果必须化为最简二次根式，必要时需进行分母有理化。
3.应用关键：
先判断性质应用的条件是否满足，再选择合适的性质化简；
复杂根式需先转化（如负因数乘积化为正因数乘积、小数化为分数），再分步化简。
课后练习
基础达标：
1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A.32 B.4x2yC.xyD.4x2+1
2.下列各式的计算正确的是( )
A.−4−9=−4−9 B.429=223
C.34=23 D.311÷323=311÷113=311
3. 下列各式化成最简二次根式正确的是( )
A.710=0.7B.2425=245 D.23=36
4.已知a=2，b=10，用含a，b的代数式表示20，这个代数式是( )
A.a+bB.abC.2aD.2b
5.化简：12= ，12= .
6.下列是最简二次根式的有 .
①12；②15；③15；④a2+b2.
能力提升：
7.化简12+13的结果为( )
A.306 B.630 C.56 D.65
8.把−2212根号外的因式移进根号内，结果等于( )
A.10B.−10 C.5D.−5
9.若a