辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高三年开学考试数学试卷含答案

这是一份辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高三年开学考试数学试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z=i2+i,z 为 z 的共轭复数，则 z= ( )
A. 53 B. 59 C. 55 D. 15
2. 已知向量 a=2,0,b=−3,3 ，则 csa+b,a= ( )
A. 32 B. −32 C. 12 D. −12
3. 已知集合 A={1,3,m},B={1,m} ，则 “ m=3 ” 是 “ A∪B=A ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知角 α 的终边经过点 P3,1,β∈π2,π ，且 sinα+β=55 ，则 sinβ= ()
A. 22 B. 23 C. 25 D. 210
5. 已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等. 若圆台的体积是圆锥的体积的 7 倍, 则圆台的上、下底面的面积之比为( )
A. 19 B. 14 C. 13 D. 12
6. 在一定条件下,大气压强 p (单位: 百帕) 随海拔高度 h (单位: 米) 的变化满足如下函数关系式: p=p0e−khp0,k 为正常数 ) . 已知海拔高度 0 米处的大气压强为 1000 百帕,海拔高度 10000 米处的大气压强为 250 百帕，那么，若大气压强增加 1 倍，则海拔高度降低 ( )
A. 100 米 B. 2500 米 C. 5000 米 D. 7500 米
7. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且面积为 S . 若 a=1,C=π4 且 4S=acsB+bcsA ,则 B= ( )
A. π6 B. π3 C. 5π12 D. 7π12
8. 已知 F1,F2 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,点 P 在双曲线上, PF1⊥PF2 ,圆 O:x2+y2=94a2+b2 ,直线 PFI 与圆 O 相交于 A,B 两点,直线 PF2 与圆 O 相交于 M,N 两点. 若四边形 AMBN 的面积为 9b2 ,则 C 的离心率为( )
A. 54 B. 85 C. 52 D. 2105
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 经验表明,一般树的胸径 (树的主干在地面以上 1.3 m 处的直径) 越大,树就越高. 在研究树高 y 与胸径 x 之间的关系时,某同学收集了某种树的 5 组观测数据 (如下表):
假设树高 y 与胸径 x 满足的经验回归方程为 y=bx−2.2 ,则()
A. b=1.32
B. 当胸径 x=15 时,树高 y 的预测值为 14
C. 表中的树高观测数据 y 的 40% 分位数为 10
D. 当胸径 x=11 时,树高 y 的残差为 -0.32
10. 已知函数 fx=sinωx+2cs2ωx2ω>0 的最小正周期为 π ，则下列结论正确的是( )
A. ω=2
B. 函数 fx 的最大值为 2
C. 函数 fx 的图象关于点 −π8,1 对称
D. 函数 fx 在 −3π8,0 上单调递增
11. 已知 A,B 两点的坐标分别为 −1,0,1,0,M 为坐标平面内的动点,直线 MA,MB 的斜率之和为定值 a . 设动点 M 的轨迹为 C ,则()
A. 轨迹 C 关于直线 y=x 对称
B. 轨迹 C 关于原点对称
C. 当 a=0 时,轨迹 C 为一条直线
D. 当 a≠0 时,轨迹 C 存在渐近线
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某城市有 10 个著名的地标建筑, 文旅部门要从中选取 3 个作为城市名片进行特色文化宣传，且甲、乙、丙 3 个建筑中至少选 1 个，那么共有_____种不同的选法.
13. 已知集合 A=x∣x=2n,n∈N∗,B=x∣x=3n+2,n∈N∗ ,将 A∩B 中所有元素按从小到大的顺序构成数列 an ，则数列 an 的通项公式为_____.
14. 函数 fx=xln2+xln8−xln18x>0 的零点为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分
15. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,其中 a3=3,Sn=12n2+λn .
(1)求 λ 的值以及数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=a5n−4⋅3n ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. 已知函数 fx=ex−ax−a3 .
(1)当 a=1 时，求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)若 fx 有极小值，且极小值小于 0，求 a 的取值范围.
17. 已知圆 F1:x+12+y2=r2 ,圆 F2:x−12+y2=4−r2,00 ,则 lnx∈R ,即 t∈R ,令 gt=1+2t−3tt∈R .
当 t3t ,则 gt>0 ,不存在零点;
当 t=0 时, g0=1 ,即 0 不是函数 gt 的零点;
当 t>0 时,由 g′t=2tln2−3tln3 ,且 0g1 ,解得 a>1 ,
所以 a 的取值范围为 1,+∞ ;
解法二: 因为 fx 的定义域为 R ,且 f′x=ex−a ,
若 fx 有极小值,则 f′x=ex−a 有零点,
令 f′x=ex−a=0 ,可得 ex=a ,
可知 y=ex 与 y=a 有交点,则 a>0 ,
若 a>0 ,令 f′x>0 ,解得 x>lna ; 令 f′x0 等价于 ga>g1 ,解得 a>1 ,
所以 a 的取值范围为 1,+∞ .
17. (1) x24+y23=1 ；(2)存在； m=4 ， λ=2 .
解: (1) 由题意可知 PF1=r,PF2=4−r,F1F2=2 , 所以 PF1+PF2=4>F1F2 ,
所以曲线 C 为以 F1、F2 为焦点的椭圆,且 a2=22=4,c2=1,b2=4−1=3 , 所以曲线 C 的方程为 x24+y23=1 .
(2)假设存在，由题意知直线 AB 的斜率存在，
设直线 AB 的方程为 y=kx−1 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
联立 y=kx−1,3x2+4y2=12, ,消去 y 整理得, 4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0 ,
则 x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3 ,
所以 kPA+kPB=y1−32x1−1+y2−32x2−1=kx1−1−32x1−1+kx2−1−32x2−1
=2k−32x1−1−32x2−1=2k−3x1+x2−22x1x2−x1+x2+1=2k−1 ,
kPD=km−1−32m−1=k−32m−1,
因为 kPA+kPB=λkPD ,
所以 2k−1=λk−3λ2m−1 ,所以 λ=2,3λ2m−1=1 ,得 m=4 ,
所以存在 m=4,λ=2 使 kPA+kPB=λkPD 成立.
18. (1) (i) 105 ; (ii) 16+1663
(2)存在, 2−1
(1)(i) ∵VD−MAB=VM−ABD=13S△ABD⋅h ，
又 ∵S△ABD 是定值， ∴ 当三棱锥体积 VM−ABD 最大时即高 h 最大，
即点 M 为半圆弧 AD⏜ 的中点
设线段 AD 的中点为 O ,以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 O0,0,0,A0,−2,0,B0,−2,4,M2,0,0,C0,2,4,D0,2,0 ,
所以 BC=0,4,0,BM=2,2,−4 ,
设平面 BMC 的法向量为 n=x,y,z .
则 BM⋅n=0BC⋅n=0 ,则 2x+2y−4z=04y=0 ,令 z=1 ,得 x=2,y=0 ,
则 n=2,0,1 .
因为 AB⊥ 平面 MAD,MD⊂ 平面 MAD,∴MD⊥AB ,
又 ∵MA⊥MD,MA∩AB=A,MA,AB⊂ 平面 MAB ,
∴MD⊥ 平面 MAB,MD=−2,2,0 是平面 MAB 的法向量.
设平面 MBC 与平面 MAB 所成角的平面角为 θ ,则 csθ=MD⋅nMD⋅n=105 .
平面 MBC 与平面 MAB 所成角的余弦值为 105
(ii) 将面 MAB 与面 MBD 绕 MB 旋转,展开成平面图,连接 AD , 如图所示,此时 AN+DN 最小,即为 AD 长,

由题意可知 MA=MD=22 ， MB=26 ， BD=42 ，
MD2+BM2=32=BD2 所以 ∠BMD=π2 ,
cs∠AMD=cs∠AMB+∠BMD=−sin∠AMB=−63,
再由余弦定理可知 AD2=MA2+MD2−2MA⋅MDcs∠AMD=16+1663 ,
即 AN+DN2 的最小值为 16+1663 .
(2)结合(1)可设 M2csα,2sinα,0,α∈−π2,π2∪π2,3π2,B0,−2,4 ，

所以 BM=2csα,2sinα+2,−4 ,
平面 ABCD 的法向量为 n0=1,0,0 ,
设 θ 为直线 MB 与平面 ABCD 所成角,
当直线 MB 与平面 ABCD 所成角最大时, sinθ 取最大值,
sinθ=csBM,n0=2csα2csα2+2sinα+22+−42
=2csα22csα2+2sinα+22+42=4−4sin2α8sinα+24=124−4sin2α2sinα+6
令 t=2sinα+6∈4,8 ,
则 sinθ=124−4sin2α2sinα+6=124−t−62t=12−t−32t+12≤12−232+12=2−1 ,
∴ 当且仅当 t=42 时, sinθ 取最大值,此时直线 MB 与平面 ABCD 所成角最大,
即存在点 M ,使得直线 MB 与平面 ABCD 所成角最大.
19. (1)设“甲第 i 次在 A 处投进”为事件 Ai ，“甲第 i 次在 B 处投进”为事件 Bi ，
i=1,2 ,依题意, X2 的可能取值为0,2,3,4.
PX2=0=PA1B2=1−35×1−12=15,
PX2=2=PA1A2=35×1−35=625,
PX2=3=PA1B2=1−35×12=15,
PX2=4=PA1A2=35×35=925,
所以 X2 的概率分布为
EX2=15×0+625×2+15×3+925×4=6325 (分).
(2)当 2≤k≤n 时，甲第 k 次在 A 处投篮分两种情形:
① 第 k−1 次在 A 处投篮且投进,这种情形概率为 ak−1×35 ;
② 第 k−1 次在 B 处投篮且未投进，这种情形概率为 1−ak−1×1−12 .
所以 ak=ak−1×35+1−ak−1×12=110ak−1+12 ,
故 ak−59=110ak−1−59 ,
因为 a1−59=49 ,
所以 ak−59 是以 49 为首项, 110 为公比的等比数列.
所以 ak−59=49×110k−1 ,
即 ak=59+49×110k−1,k=1,2,……,n .
(3)因为第 k 次在 A 处投篮的概率为 ak ，在 B 处投篮的概率为 1−ak ， 记第 k 次得分 ξk ,则 ξk 的可能取值为0,2,3,
Pξk=2=35ak,
Pξk=3=121−ak,
Pξk=0=1−35ak+1−121−ak=12−110ak,
所以 Eξk=2×35ak+3×121−ak=32−310ak=43−215×110k−1 ,
因为 Xn=nk=1ξk ,
所以 EXn=nk=1Eξk=nk=143−215×110k−1
=43n−215×1−110n1−110=43n−427+427×110n,
因为 427×110n>0 ,
所以 EXn>43n−427 .胸径 x/cm
8
9
10
11
12
树高 y/m
8.2
10
11
12
13.8
X2
0
2
3
4
P
1 5
625
1 5
925