辽宁省沈阳市2023−2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市2023−2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，若，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．在梯形中，，，则（ ）
A．25B．15C．10D．5
5．在与中，已知，若对任意这样两个三角形,总有，则（ ）
A．B．C．D．
6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力B．始终有
C．当时，D．当时，
7．若，且，，，则，，的大小是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，其中，.其部分图象如下图，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知向量，，，则（ ）
A．在上的投影数量是B．在上的投影向量是
C．与夹角的正弦值是D．
11．设函数fx=Asinωx+φ（其中，，），若在上具有单调性，且，则（ ）
A．B．
C．D．当时，
12．在中，，，，则（ ）
A．的周长是B．边上的中线长
C．边上的角平分线长D．边上的高长
三、填空题（本大题共4小题）
13．若，满足条件的的集合是 .
14．将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是 .
15．已知，则 .
16．在中，为边上的任一点，若，，则 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为.

(1)求的值；
(2)若，求P的坐标.
18．如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.

(1)设，，用，表示向量；
(2)求证：M，N，C三点共线.
19．（1）已知，，求满足，的点D的坐标；
（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.
20．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，，求的面积.
21．已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.
(1)求解析式；
(2)若函数在上有两个零点，，求的值.
22．已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线.
(1)若的面积为，且，，求的长；
(2)若，求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】解：，
与角终边相同的角是．
故选：B.
2．【答案】D
【详解】，，，
则，，
，
则，解得．
故选：D
3．【答案】B
【详解】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为
，且弦，
可得，，
扇形的面积为．
故选：B
4．【答案】A
【详解】，
又，，
，，，
则.
故选：A
5．【答案】D
【详解】由题意可知：有唯一解，且，
由正弦定理，可得，
所以关于A的方程有唯一解，
可知曲线和水平直线必须有唯一的交点，
则或，解得或．
故选：D.
6．【答案】C
【详解】根据题意，由于，又由，
则有向量，为邻边的四边形为菱形，
则有，,
对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误；
对于B，由于，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，当时，，D错误．
故选：C.
7．【答案】B
【详解】因为若，且，，，
若，则，，显然不符合题意，
若时，，
所以，，，
由题意可得，，可看成与，的交点的横坐标，

结合函数的图象可知，．
故选：B
8．【答案】C
【详解】由题意可得，函数图象关于对称，
故，所以，则，
又，，且，所以，所以，
所以.
故选：C
9．【答案】BC
【详解】，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误．
故选：BC
10．【答案】AD
【详解】因为，，，
所以，，
即，所以，
对于A，在上的投影数量是，故A正确；
对于B，在上的投影向量是，故B错误；
对于C，，所以，
故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：AD
11．【答案】AC
【详解】因为在上具有单调性，所以，又，所以，
因为，
所以的图象关于对称，且关于对称，
所以，，所以，
故时，，B错误；
故，因为，即，，
又，所以，C正确；
所以，所以，所以，A正确；
所以，当时，，所以，
D错误．
故选：AC
12．【答案】ACD
【详解】因为在中，，，，
所以由余弦定理得，
所以的周长是，故A正确；
设边上的中线为AD，则，两边平方，
可得，解得，故B错误；
设边上的角平分线为，则，
则由得，
所以，解得，故C正确；
设边上的高为，因为，，，，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD
13．【答案】
【详解】，
则，，解得，，
又，则满足条件的的集合是．
故答案为：.
14．【答案】
【详解】函数的图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
故答案为：
15．【答案】/
【详解】由，得，即，
.
故答案为：
16．【答案】/
【详解】设的内角，，的对边分别为，，，

因为，所以，
又由余弦定理可得，
所以，可得，
可得，即，即，
所以由余弦定理，可得，
所以.
故答案为：
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以，得.
即，且由三角函数定义知，，，
故.
（2）由题意：，
，
故.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
.
（2）因为，
且由（1）知，所以，
所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线.
19．【答案】（1）或；（2）
【详解】（1）设D点坐标为，则，，
所以，解得或，
即点D的坐标为2,1或-2,3.
（2）由向量与共线，
令，，则，
而向量，为单位向量，且，
于是得
，（当且仅当时取“=”），
所以的最小值为.
20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）（方法一：）由余弦定理得：，
又由题知：，
所以，化简得，
所以：，
因为，故.
（方法二：）由正弦定理得：，
因为
所以：，
因为，故.
（2）由余弦定理：，
整理得，解得或.
当时，，最大角B是钝角，为钝角三角形，舍去；
当时，，最大角B是锐角，为锐角三角形，符合题意.
所以.
21．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值.
因为在是单调函数，且的图象关于点对称，
所以得，所以
又因为函数在时取得最大值，所以，，
即，.因为，所以，
所以：.
（2）因为，令，则
在内的图象如图所示，

由题函数在有两个零点，，
即与在内有两个交点，，
数形结合可得：，，即，
所以.
22．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知：，
即，所以，
从而为等边三角形，则，，
因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以
在中，由余弦定理得：
，
所以.
（2）（方法一：）由，且为中点，则，
不妨设，则，，
在中，由余弦定理：①，
又因为，
易得：②
由①②解得：
，（当且仅当时取“=”）
故的最小值为.
（方法二：）∵
，
同理：，
由，得，
即
，
即，
∴，
当且仅当时，取“=”
故的最小值为.