辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 l1:x+1+ay−2+a=0 与 l2:ax+2y+8=0 垂直，则实数 a 的值为( )
A. 23 B. −23 C. 1 D. -2
2. 已知空间向量 a=1,2,−1,b=2,−1,2 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为( )
A. 49,−29,49 B. 2,−1,2 C. −49,29,−49 D. −43,23,−43
3. 已知数列 an 满足 a1=2,an+1=1−1an ，则 a2026 的值为( )
A. -1 B. 12 C. 2 D. 5
4. 甲、乙、丙等 5 人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 48 种
5. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子, 且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为 6: 3:1. 现利用仪器从一块矿物晶体中分离出 3 个水分子, 用频率估计概率, 则至少分离出 2 个轻水分子的概率为( )
A. 15 B. 512 C. 3275 D. 81125
6. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an+1=2Sn+3n∈N∗ ,则数列 an 的前 10 项和为( )
A. 310+34 B. 311−34 C. 310+32 D. 311−32
7. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗, 甲地块培育的一等种苗占比 95%，乙地块培育的一等种苗占比 80%，丙地块培育的一等种苗占比 70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的 40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株, 它是一等种苗的概率为( )
A. 0.7 B. 0.72 C. 0.8 D. 0.83
8. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左顶点为 M ,右焦点 F ,过点 M 且倾斜角为 π6 的直线与双曲线的右支交于点 N ,若 FN=2 ,且 MN⊥FN ,则双曲线的离心率为( )
A. 32 B. 2
C. 43 D. 3
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 X∼N8,4 ,若 PX≤6=a,P80 ,其左、右焦点分别是 F1,F2,P 为椭圆 C 上任意一点, △PF1F2 面积的最大值为 3 ,椭圆 C 在点 P 处的切线为 l ,过点 P 且与 l 垂直的直线与椭圆的长轴交于点 M ( M 与 O 不重合)，且 ∠F1PM=∠F2PM ，若 PM=MF2 ，则 PF1PF2= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 2x−1nn∈N∗,n≥2 的展开式中第 3 项与第 n−1 项的二项式系数之和为 30 .
(1)求 n 的值；
(2)记 2−xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn ，从 a0,a1,a2,⋯,an 中任取两个相乘，求积为负数的概率.
16. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了 100 名学生的物理成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该地区本次物理测试的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前 60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？(结果保留整数)
(3)从成绩位于区间 80,90 和 90,100 的答卷中，采用分层抽样随机抽取 7 份，再从这 7 份中随机抽取 3 份,设成绩在 90,100 的答卷份数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望.
17. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PD⊥ 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AD⊥CD , AB//CD,CD=PD=2AD=2AB=2 ,点 E 是棱 PC 上的动点,且 PEPC=λ00 且 λ≠2 ) 设点 P 的轨迹为曲线 H ,若某条直线上存在这样的点 P ,则称该直线为“齐备直线”.
(1)若 λ=3 ，求曲线 H 的方程；
(2)若“齐备直线” l1:y=kx 与曲线 H 相交于 A 、 B 两点，点 M 为曲线 H 上不同于 A 、 B 的一点，且直线 MA ， MB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，判断是否存在 λ ，使得 λ2+1+k1k2 取得最小值， 说明理由;
(3)若 λ=1 ，与曲线 H 有公共点 N 的“齐备直线” l2 与曲线 H 的两条渐近线分别交于点 S 、 T ， 且 N 为线段 ST 的中点,求证: 直线 l2 与曲线 H 有且仅有一个公共点.
1. B
因为直线 l1:x+1+ay−2+a=0 与 l2:ax+2y+8=0 垂直, 所以 1×a+1+a×2=0 ,即 3a+2=0 ,解得 a=−23 .
2. C
a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2⋅b=1,2,−1⋅2,−1,222+−12+222⋅2,−1,2 =1⋅2+2⋅−1−1⋅29⋅2,−1,2=−29⋅2,−1,2=−49,29,−49 .
故选: C
3. C
由 an+1=1−1an,a1=2 ,
则 a2=12,a3=−1 ,
所以 an+2=1−1an+1=1−11−1an=11−an=11−1−1an−1=an−1 ,
所以数列 an 是周期为 3 的周期数列,
对 2026 做除法得: 2026=3×675+1 ,即 2026 除以 3 余 1,
因此 a2026=a1=2 .
4. B
将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他 3 个人进行排序， 共有 A22 A44=48 种排法.
接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形，
需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间，
然后将这个“大元素”与其他 2 个人进行排序，此时共有 A22 A33=12 种排法.
综上,共有 48−12=36 种不同的排法.
故选: B.
5. D
设事件 M= “至少分离出 2 个轻水分子”,
由题意知分离出 1 个轻水分子的概率为 610=35 ,
分离出 1 个非轻水分子的概率为 3+110=25 ,
所以 PM=C32352×251+C33353×250=54+27125=81125 ,
故至少分离出 2 个轻水分子的概率为 81125 .
故选: D.
6. D
因为 an+1=2Sn+3n∈N∗ ,所以当 n≥2 时,有 an=2Sn−1+3 ,
两式相减: an+1−an=2Sn−Sn−1=2an ,即 an+1=3an ;
当 n=1 时， a2=2S1+3=2a1+3 ，
因为 an 为等比数列,所以 a2=3a1 ,代入可得 a1=3 ,
数列 an 是首项为 3、公比为 3 的等比数列,
所以前 10 项和为 S10=a1⋅310−13−1=3⋅310−12=311−32 .
故选: D
7. D
记事件 A 表示“随机抽取一株是一等种苗”,
事件 B1 表示“抽取的种苗来自甲地块”,
事件 B2 表示“抽取的种苗来自乙地块”,
事件 B3 表示“抽取的种苗来自丙地块”,
则 PB1=40%=0.4,PB2=30%=0.3,PB3=30%=0.3 ,
PA∣B1=95%=0.95, PA∣B2=80%=0.8, PA∣B3=70%=0.7,
由全概率公式 PA=PB1PA∣B1+PB2PA∣B2+PB3PA∣B3
=0.4×0.95+0.3×0.8+0.3×0.7=0.83 ,
因此从这批种苗中随机抽取一株, 它是一等种苗的概率为 0.83 .
故选: D
8. B
过 N 作 NP 垂直 x 轴于点 P ,作 NQ 垂直双曲线的准线 x=a2c 于点 Q ,如图:

由题意 ∠NMF=π6,∠MNF=π6 ，所以 ∠NFP=π3 ，
所以 MF=a+c=FNsinπ6=4 , FP=FNcsπ3=1 ,所以 xN=xP=c−1 ,
又 NFNQ=ca ,所以 2xN−a2c=ca ,所以 xN=aa+2c ,
所以 aa+2c=c−1 ,即 aa+2=c2−c ,又 a+c=4 ,所以 aa+2=4−a2−4−a ,化简得 a=43 ,所以 c=83 ,所以 e=ca=2 .
故选: B
9. AB
因为随机变量 X∼N8,4 ,所以 PX≥10=PX≤6=a ,故 A 正确;
a+b=PX≤6+P8