辽宁省实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份辽宁省实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共 8 题，每题 5 分，满分 40 分)
1. 抛物线 y=4x2 的焦点坐标是( )
A. 0,116 B. 0,18 C. 0,1 D. 0,2
2. 在空间直角坐标系中,已知点 A3,0,0,B0,2,1,C1,1,−2 . 以下四个点中,与点 A,B,C 共面的是 ( )
A. D1−5,3,−1 B. D20,1,1 C. D31,−1,−3 D. D47,−3,−4
3. 1−2x7 的二项展开式中，第四项的系数是( )
A. -280 B. 560 C. 84 D. -84
4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x−22+y2=4 ,直线 l:y=kx+1 . 若直线 l 上存在点 M ,使得过点 M 向圆 C 作的两条切线互相垂直,则实数 k 的取值范围是( )
A. −∞,−3∪3,+∞ B. −3,3
C. −∞,−22]∪22,+∞ D. −22,22
5. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在 C 的右支上, 且满足 ∠F1PF2=2π3,PF1=3PF2 . 则双曲线 C 的离心率为( )
A. 2 B. 3
C. 72 D. 132
6. 设 1−mx5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,若 a0+a1+a2+a3+a4+a5=32 ,则实数 m 的值为( )
A. 3 或 -1 B. -3 或 1 C. -1 D. 3
7. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点(点 A 在第一象限),且满足 3AF=5BF ,则直线 l 的斜率为 ( )
A. 23 B. 15 C. 4 D. 32
8. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0,C 的上顶点为 A ,两个焦点为 F1,F2 ,离心率为 12 . 过 F1 且垂直于 AF2 的直线与 C 交于 D,E 两点， DE=63 ，则 △ADE 的周长是( )
A. 24 B. 26 C. 123 D. 133
二、多选题(共 3 题，每题 6 分，满分 18 分)
9. 已知四边形 ABCD 为空间四边形,点 E,F,G 分别在边 AB,BC,CD 上,且满足 AEEB=BFFC=CGGD=12 ，点 M 满足 AM=xAB+yAC+zAD ，则下列选项正确的是( )
A. AC=AB+BD+DC B. 若 x+y+z=1 ,则点 M,B,C,D 四点共面
C. 点 E,F,G,M 可能共线 D. EG=mAC+nAD+pAB ,则
m+n+p=23
10. 已知直线 l1:2mx−3y+4=0,l2:m+2x−m+1y+2m+5=0m∈R ，则下列选项正确的为 ( )
A. 直线 l2 过定点 −3,−1 B. 当 l1⊥l2 时, m=−3 或 m=−12
C. 当 m≠2 时, l1 和 l2 相交 D. 当 l1//l2 时,两直线 l1,l2 之间的距离为 1
11. 已知 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,长轴长为 6,点 M6,1 在椭圆 C 外,点 N 在椭圆 C 上,则下列说法中正确的有( )
A. 椭圆 C 的离心率的取值范围是 63,1
B. 椭圆 C 上存在点 Q 使得 QF1⋅QF2=0
C. 已知 E0,−2 ,椭圆 C 的离心率为 223 ,则 NE 的最大值为 362
D. NF1+NF2NF1⋅NF2 的最小值为 1
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，满分 15 分)
12. 双曲线 y24−x2=1 的渐近线方程为_____
13. 已知 C10n+C104=C115 ,则 n= _____.
14. 如图， ∠BOC 在平面 α 内， OA 是 α 的斜线，若 ∠AOC=∠AOB=60∘ ， OA=OB=OC=1,BC=2 ，则 OA 与平面 α 所成角是_____.

四、解答题(共 5 题，满分 77 分)
15. 人工智能社团有 6 位同学, 计划对 ChatGPT、Sra、GPT-4、Claude 这 4 种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型.
(1)若从社团中选出 5 人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
(2)若 6 位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案?
16. 如图,四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥BC,AD// 平面 PBC , PA=AC=2 .

(1)证明: AD⊥PB ；
(2)若点 B 到平面 ACP 的距离为 1，求平面 ACP 与平面 BCP 夹角的余弦值.
17. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 2+1 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线交椭圆 C 于 A,B 两点， O 为坐标原点，直线 OA 与 OB 的斜率之积为 −12 ，求 △AOB 的面积.
18. 如图，在平面 ABCD 中， △ABD 为正三角形， △BCD 为直角三角形，且 BC=CD=22 . 以 BD 为折痕把 △ABD 和 △CBD 向上折起，使点 A 到达点 E 的位置，点 C 到达点 F 的位置,且满足平面 EBD⊥ 平面 FBD .

(1)求证: EF⊥BD ；
(2)若 AE=23 ，求直线 DF 与平面 ABE 所成角的正弦值.
(3)在(2)的条件下，求异面直线 EF 和 DA 的距离.
19. 造型 ∘ 可以看作图中曲线 C 的一部分,已知 C 过坐标原点 O ,且 C 上的点满足横坐标大于 -1,到点 F1,0 的距离与到定直线 x=aa1 ,所以 e=132 .
6. C
因为 1−mx5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,
所以令 x=1 ,可得, a0+a1+a2+a3+a4+a5=1−m5=32 ,
所以 1−m=2 ,解得 m=−1 ,
7. B
设抛物线 y2=2pxp>0 的准线为 x=−p2 ,
分别过点 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 M,N ,如图所示,

过点 B 作 BC⊥AM 交于点 C ,
则 AM=AF,BN=BF ,因为 AM−BN=AC ,
则 AF−BF=AC=AF+BFcs∠BAC ,根据 3AF=5BF 可得 cs∠BAC=14 ,
解得 tan∠BAC=sin∠BACcs∠BAC=1−14214=15 ,
又因为 AM//x 轴,所以 ∠BAC=∠AFx ,
也即直线 l 的斜率为 tan∠AFx=tan∠BAC=15 .
8. D
因为椭圆离心率为 12 ,故 ca=12 ,则 ba=1−122=32 ,
又 AF1=AF2=a,OF1=OF2=c ,故 ∠OAF1=∠OAF2=π6 ,
故 △AF1F2 为等边三角形, DE 为 AF2 的垂直平分线,
所以 AD=DF2,AE=EF2 ,则 △ADE 的周长等于 △F2DE ,
其中 DF2+DF1=2a,EF2+EF1=2a ,则 △ADE 的周长为 4a ,
直线 AF2 的斜率为 tan120∘=−3 ，故直线 DE 的斜率为 33 ，
故直线 DE 为 y=33x+c ,联立 C:x2a2+4y23a2=1 ,得 13x2+8cx+4c2−9a2=0 ,
又 ca=12 ,故 13x2+8cx−32c2=0 ,
设 Dx1,y1,Ex2,y2 ,则 x1+x2=−8c13,x1x2=−32c213 ,
故 DE=1+332⋅−8c132−4⋅−32c213=48c13=63 ,解得 c=1338 ,
故 a=2c=1334 ,则 △ADE 的周长为 4a=133 .

9. ABD
对于 A ,根据空间向量加法规则可知 AC=AB+BD+DC, A 正确;
对于 B ,因为点 M 满足 AM=xAB+yAC+zAD ,且 x+y+z=1 ,所以根据共面向量定理得点 M,B,C,D 四点共面，B 正确；
对于 C ,因为 AEEB=BFFC=CGGD=12 ,
EF=EB+BF=23AB+13BC=23AB+13AC−AB=13AC+13AB
FG=FC+CG=23BC+13CD=23AC−AB+13AD−AC=−23AB+13AC+13AD ,
EF 与 FG 不共线,故 E,F,G 不共线,因此 E,F,G,M 不可能共线, C 错误;
对于 D ,因为 EG=EF+FG=13AC+13AB−23AB+13AC+13AD=23AC−13AB+13AD
因为 EG=mAC+nAD+pAB ,所以 m=23,n=13,p=−13 ,则 m+n+p=23,D 正确.

10. AB
直线 l2 方程整理为 mx−y+2+2x−y+5=0 ,
由 x−y+2=02x−y+5=0 ,解得 x=−3y=−1 ,因此直线 l2 过定点 −3,−1,A 正确;
l1⊥l2 ,则 2mm+2+3m+1=0 ,解得 m=−3 或 m=−12 , B 正确;
由 −m+1⋅2m+3m+2=0 得 m=2 或 m=−32 ,
所以 m≠2 且 m≠−32 时, l1 和 l2 相交, C 错;
m=2 时,两直线方程分别为 4x−3y+4=0,4x−3y+9=0 ,两直线平行,它们的距离为 4−942+−32=1,
m=−32 时,两直线方程分别为 −3x−3y+4=0 和 12x+12y+2=0 ,即 x+y−43=0 和 x+y+4=0 ,两直线平行,距离为 −43−42=823 ,
D 错.
故选: AB.
11. ABC
对于 A ,由题意可知 2a=6 ,所以 a=3 ,所以椭圆方程为 x29+y2b2=1 ,
因为 M6,1 在椭圆 C 外,所以 69+1b2>1 ,解得 b21−39=23 ,所以 63