辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
?
1.若集合? = {?|< 4}，? = {?|3? ≥ 1}，则? ∩ ? = ()
A. {?|0 ≤ ? < 2}B.
1
{?|3 ≤ ? < 2}
C. {?|3 ≤ ? < 16}D.
1
{?|3 ≤ ? < 16}
21
.“? > 1”是“? < 1”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知?，?，? ∈ ?，那么下列命题中正确的是()
A. 若? > ?，则??2 > ??2
B.??
若? > ?，则? > ?
C. 若? > 0，? > 0，则?2 + ?2 ≥ ? + ?
??
D. 若?2 > ?2且?? > 0，则1 < 1
??
4.已知函数?(? + 1)的定义域为[−1,3]，则?(?2)的定义域为()
A. [−2,2]B. [0,4]C. [1,9]D. [0,8]
5.函数?(?) = ? + ?(? ∈ ?)的图象不可能是()
?
A.B.
C.D.
(2? + 3)?−2? + 2,? < 1
?(?1)−?(?2)
6.已知函数?(?) = ?2−?? + 3,? ≥ 1，满足：对任意?1，?2 ∈ ?，当?1 ≠ ?2时，都有 ?1−?2
3
> 0成立，则实数?的取值范围是()
A. (−∞,2]B.
3
(−2,2]
C. (−2,−1]
D. [−1,2]
7 4 2
3
.若存在? ≥ 0，? ≥ 0，且3? + ? = 1，使不等式+< ? −2?−3成立，则实数?的取值范围是
?+1?+1
()
A. (−4,2)B. (−∞,−2) ∪ (4, + ∞)
C. (−2,4)D. (−∞,−4) ∪ (2, + ∞)
8.已知函数?(?) = ? ，?(?) = ?2 +2?? + 13.若∀? ∈ [2,4]，都∃? ∈ [2,4]，使?(? ) ≥ ?(? )成立，则
?2+6
实数?的取值范围为()
111212
A. (−∞,−4]B. (−∞,−5]C. [−2,−5]D. [−4,−2]
44
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2025年9月末，沈阳市第120中学军事田径运动会圆满落幕，高一某班共有12名同学参加100米、400
米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是()
A. 三项比赛都参加的有2人B. 只参加100米比赛的有3人
C. 只参加1500米比赛的有1人D. 只参加400米比赛的有3人
10.已知正数?，?满足4? + ? + ?? = 12，则下列结论正确的是()
A. ? + ?的最小值为3B. 4? + ?的最小值为8
C. ??的最大值为4D. 1 +
?+1
13
的最小值
?4
11.已知函数?(?)的定义域是(0, + ∞)，且?(??) = ?(?) + ?(?)，当? > 1时，?(?) < 0，?(2) = −1，则下列说法正确的是()
A. ?(1) = 0
B. 函数?(?)在(0, + ∞)上是减函数
C. ?( 1 ) + ?( 111
2023
) + ⋯ + ?(
2022
3) + ?(
2) + ?(2) + ?(3) + ⋯ + ?(2022) + ?(2023) = 2023
D. 不等式?(1)−?(?−3) ≥ 2的解集为[4, + ∞)
?
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
不等式|?2−5?| < 6的解集为．
已知命题?:? ∈ ?且? + 1 ≤ 0，命题?:∀? ∈ ?，?2 +?? + 1 ≠ 0恒成立，若?与?不同时为真命题，则?
的取值范围是．
下列说法中正确的序号是．
①已知函数?(?)是一次函数，满足?(?(?)) = 9? + 8，则?(?)的解析式可能为?(?) = −3?−4．
②?(?) =
|?|与?(?) =
?
1,? > 0
表示同一函数．
−1,? ≤ 0
③函数?(?) = 2? + 4 1−?的值域为(−∞,4]．
④定义在?上的函数?(?)满足2?(?)−?(−?) = ? + 1，则?(?) = ? +1．
3
⑤设?1，?2，?1，?2，?1，?2都不为0，不等式?1?2 + ?1? + ?1 > 0的解集为?，不等式?2?2 + ?2? + ?2
?1
?
> 0的解集为?，则“
2
= ?1
?2
?1
= ?2
”是“? = ?”的充要条件．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
(1)用分析法证明：1 + 2
0，? > 0，? > 0，? > 0，求证：?2 + ?2 ≥ (?+?)2．
16.(本小题15分)
??
?+?
已知函数?(?) = −?2 +?? + 4，?(?) = |? + 1| + |?−1|．
(1)当? = 1时，求不等式?(?) + ?2 ≥ ?(?)的解集;
(2)若不等式?(?) ≥ ?(?)的解集包含[−1,1]，求?的取值范围．
17.(本小题15分)
随着时代的进步和社会的发展，医疗服务水平正影响着广大老百姓的切身利益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型??机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产
?2−2?,0 < ? ≤ 80
能为200台.每生产?台，需另投入成本?(?)万元，且?(?) =
151? + 52900 −6200,80 < ? ≤ 200.由市场调
?+80
研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润?(?)(单位：万元)关于年产量?(单位：台)的函数解析式.(利润 = 销售收入−成本) (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润?(?)最大?最大年利润是多少?
18.(本小题17分)
设?(?) = ??2−??−6 + ?．
解关于?的不等式?(?) < −? + ?−5;
若对于∀? ∈ [1,3]，?(?) < 0恒成立，求实数?的取值范围;
若对于∀? ∈ [−2,2]，?(?) < 0恒成立，求实数?的取值范围．
19.(本小题17分)
三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数? = ??2 + ?(? > 0,? > 0)的图象恰如其形.牛顿最早研究
?
了函数?(?) = ?2
2
+ ?的图象，所以也称?(?)的图象为牛顿三叉戟曲线．
(1)判断?(?)在(1, + ∞)上的单调性，并用定义证明;
(2)已知两个不相等的正数?，?满足：?(?) = ?(?)，求证：?? < 1;
(3)是否存在实数?，?，使得?(?)在[?,?]上的值域是[3?,3?]?若存在，求出所有?，?的值;若不存在，说明理由．
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
12.(−1,2) ∪ (3,6)
13.(−∞,−2] ∪ (−1, + ∞)
14.①③④
2
15.(1)证明：欲证1 + 2
0，
2
3
因为> 0显然成立，
2
所以1 + 2
0，? > 0，? > 0，? > 0，
∴ ??(? + ?) > 0，
又(??−??)2 ≥ 0(当且仅当?? = ??时取等号)，
∴ ?2 + ?2−(?+?)2 = (??−??)2 ≥ 0，即?2 + ?2 ≥ (?+?)2．
??
?+?
??(?+?)
??
?+?
16.解：(1)当? = 1时，?(?) = −?2 +? + 4，
?(?) = |? + 1| + |?−1| =
2?,? > 1
2,−1⩽?⩽1 ,
−2?,? < −1
不等式等价于|? + 1| + |?−1|⩽? + 4，
①当? > 1时，令? + 4 ≥ 2?，解得? ≤ 4，则?(?) + ?2 ≥ ?(?)的解集为(1,4];
②当−1 ≤ ? ≤ 1时，令? + 4 ≥ 2，解得? ≥ −2，则?(?) + ?2 ≥ ?(?)的解集为[−1,1]；
4
③当? < −1时，令? + 4 ≥ −2?，解得? ≥ −3，
则?(?) + ?2 ≥ ?(?)的解集为[−4,−1)．
3
综上所述，?(?) + ?2 ≥ ?(?)的解集为[−4,4];
3
(2)依题意得：−?2 +?? + 4 ≥ 2在? ∈ [−1,1]恒成立，即?2−??−2 ≤ 0在[−1,1]上恒成立，
12−? ⋅ 1−2⩽0
则只需 (−1)2−?(−1)−2⩽0，解得−1 ≤ ? ≤ 1，
故?的取值范围是[−1,1]．
17.解：(1)当0 < ? ≤ 80时，?(?) = 150?−(?2−2?)−400 = −?2 +152?−400；
当80 < ? ≤ 200时，?(?) = 150?− 151? + 52900 −6200 −400
?+80
= −?−52900 +5800，
?+80
−?2 + 152?−400,0 < ? ≤ 80
则?(?) =
−?− 52900 + 5800,80 < ? ≤ 200；
?+80
52900
?+80
(? + 80) ⋅ 52900
?+80
当0 < ? ≤ 80时，?(?) = −?2 +152?−400 = −(?−76)2 +5376，当? = 76时，?(?)max = 5376万元；
当80 < ? ≤ 200时，?(?) = − ? + 80 +
+5880 ≤ −2
+5880 = 5420万元，
?+80
当且仅当? + 80 = 52900，即? = 150时，上式等号成立，又5420 > 5376，则当该产品的年产量为150台时，
该公司所获年利润最大，最大年利润是5420万元．
18.解：(1)
由题意，将不等式?(?) < −? + ?−5代入?(?) = ??2−??−6 + ?，整理得：
??2 +(1−?)?−1 < 0，
分类讨论：1.当? = 0时，不等式化为?−1 < 0，解集为(−∞,1)；
2.当? > 0时，因式分解得(?? + 1)(?−1) < 0，根为? = − 1 (负)和? = 1(正)，故解集为 − 1 ,1 ；
??
3.当? < 0时，不等式等价于(? + 1 )(?−1) > 0(两边除以负数?，不等号变向)：
?
−若−1 < ? < 0，则− 1 > 1，解集为(−∞,1) ∪ − 1 , + ∞ ；
??
−若? = −1，则不等式化为(?−1)2 > 0，解集为(−∞,1) ∪ (1, + ∞)；
1
?
−若? < −1，则− 1 < 1，解集为 −∞,−
?
∪ (1, + ∞)．
解：(2)
由题意，?(?) = ?(?2−? + 1)−6 < 0对∀? ∈ [1,3]恒成立。
由于?2−? + 1的判别式? = (−1)2−4 × 1 × 1 = −3 < 0，且开口向上，故?2−? + 1 > 0对所有? ∈ ℝ成立，因此不等式等价于：
6
? < ?2−?+1
?2−?+1
令ℎ(?) =6，? ∈ [1,3]，因?2
7
ℎ(?)在[1,3]上递减，
1
−? + 1的对称轴为? = 2，开口向上，故?2
−? + 1在[1,3]上递增，从而
7
ℎ(?)的最小值为ℎ(3) = 6 =
32−3+1
6，故? < 6．
解：(3)
将?(?)视为关于?的一次函数：
?(?) = (?2−? + 1)?−6
因?2−? + 1 > 0恒成立，故?(?)在? ∈ [−2,2]上单调递增，要?(?) < 0对∀? ∈ [−2,2]成立，只需最大值
?(2) < 0，即：
2(?2−? + 1)−6 < 0
化简得?2−?−2 < 0，解得−1 < ? < 2．
19.解：(1)?(?)在(1, + ∞)单调递增，证明如下：
∀?1，?2 ∈ (1, + ∞)，且?1 < ?2，
有?(? )−?(? ) = (?2 +222
2222
)−(? −) = (? −? ) + (−) = (? −? )[(?
+ ? )− 2 ]，
121
?1
2 ?2
12?1
?2
121
2?1?2
∵ 1 < ?
< ? ， ∴ ? −?
< 0，?
+ ?
2
> 2 >， ∴ ?
2
+ ? −> 0
1212
12?1?2
12 ?1?2
∴ ?(?1)−?(?2) < 0，即?(?1) < ?(?2)，
∴ ?(?)在(1, + ∞)单调递增；
(2)证明：由?(?) = ?(?)得：?2 + 2 = ?2
?
化简得：?2−?2 = 2− 2 = 2(?−?)，

2
+ ?，
? ?
??
又?−? ≠ 0， ∴ ??(? + ?) = 2，而? ≠ ?， ∴ ? + ? > 2 ??，
∴ 2 = ??(? + ?) > 2( ??)3，
∴ ?? < 1
不妨设存在满足题意的实数?，?， ∵ 0 ∉ [?,?]， ∴ ? < ? < 0或0 < ? < ?，当? < ? < 0时，?(?)在(−∞,0)单调递减，
?(?) = 3?
?2 + 2 = 3?
?
?3 + 2 = 3??
∴ ?(?) = 3?.即： ?2 + 2 = 3?即： ?3 + 2 = 3??，
?
∴ ?3 +2 = ?3 +2， ∴ ? = ?，矛盾；
当0 < ? < ?时，可证：?(?)在(0,1)递减，
∴ ?(?)在(0, + ∞)上最小值为?(1) = 3，故3? ≥ 3， ∴ ? ≥ 1，
∴ ?(?)在[?,?]上单调递增，
，
?(?) = 3?
∴ ?(?) = 3?
∴ ?，?是?(?) = 3?在(0, + ∞)的两根．
由?(?) = 3?，得?2 + 2 = 3?，
?
即：?3−3?2 +2 = 0，(?−1)(?2−2?−2) = 0，
3
又? > ? ≥ 1， ∴ ? = 1，? =+1，
3
综上所述，存在满足题意的正实数：? = 1，? =+1．