人教版第一册上册等比数列的前n项和表格教学设计

这是一份人教版第一册上册等比数列的前n项和表格教学设计，共5页。教案主要包含了知识回顾，典例解析，课堂练习，小结思考等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
等比数列的前n项和公式（第二课时）
教科书
书 名：普通高中教科书数学选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系。
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题。
教学内容
教学重点：
1. 等比数列的前n项和公式的应用。
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题。
教学难点：
1. 在不同的问题情境中，确定等比数列的基本量。
2. 发现等差数列与等比数列在求通项中的应用。
教学过程
一、知识回顾
1.等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1、公比q(q≠1)与项数n
首项a1、末项an与公比q(q≠1)
首项a1、
公比q＝1
求和公式
Sn＝
Sn＝
Sn＝
a11−qn1−q ; a1−anq1−q ; na1
2.等比数列的前n项和公式性质
数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
二、典例解析
例1. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm，取正方形ABCD 各边的中点E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3, …,an,…，则a1=25,
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak+1=12ak,
因此{an}，是以25为首项，12为公比的等比数列.设{an}的前项和为Sn
(1)S10=25×1−1210 1 −12=50×1−1210=25575512
所以，前10个正方形的面积之和为25575512cm2.
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+…+an+…，
而Sn=25×1−12n 1 −12=50×1−12n,随着n的无限增大，12n将趋近于0，Sn将趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例2. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 Sn （单位：万吨），则an=20(1+5%)n, bn=6+1.5 n ,
Sn=a1−b1+a2−b2+…+an−bn
=a1+a2+…+an−b1+b2+…+bn
=20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n−(7.5+9+…6+1.5n)
=(20×1.05)×(1−1.05n) 1 −1.05−n2(7.5+6+1.5n)=420×1.05n−34n2−274n−420
当n=5时，S5 ≈63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
【反思提高】解决数列应用题时
1.明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；
2.明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
例3. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…
（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1 −k=r(cn−k)的形式，其中k, r为常数；
（3）求S10=c1+c2+c3+…+c10的值（精确到1）.
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。
解（1）由题意，得c1=1200,并且cn+1=1.08cn−100. ①
（2）将cn+1 −k=r(cn−k)化成cn+1=rcn−rk+k. ②
比较①②的系数，可得r=1.08,k−rk=−100.解这个方程组，得r=1.08,k=1250.
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1−1250)+(c2−1250)+(c3−1250)+…+ (cn−1250)
=−50×1−1.08101 −1.08≈−724.8.
所以S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10−724.8=11775.7≈11776.
三、课堂练习
1.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串， 按照一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用表示解下n个圆环所需的最少移动次数，若数列满足：，且，则解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数=____________.(用含n的式子表示)
【解析】因为n为偶数，当时，，
即，又，
所以是以为首项，以4为公比的等比数列。
故，所以，故填：.
2.已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【解析】当时，；当时，，即，所以，因而，即。另一方面，易知为单调递减数列，所以，所以，解得或；故选D．
四、小结思考
（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；
（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；
（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的知识在求数列通项中的作用.