人教版选修2（理科）第二章 极限数学归纳法表格教案设计

这是一份人教版选修2（理科）第二章 极限数学归纳法表格教案设计，共5页。教案主要包含了例题解析，课堂练习，总结，作业等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
数学归纳法（第一课时）
教科书
书 名：普通高中教科书数学选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
挖掘“骨牌原理”，类比“骨牌原理”寻找和构建递推关系。
理解数学归纳法的原理。
教学内容
教学重点：
理解数学归纳法的原理。
理解数学归纳法中n和n+1的关系。
教学难点：
1. 理解构建递推关系。
2. 让学生理解用数学归纳法证明数学命题的原理。
教学过程
探究
已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
分析：计算可得，再结合，由此猜想：，如何证明这个猜想呢？
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。你觉得这种理解方式怎么样？
问题1 多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题2 你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？
递推作用：当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下.
探究：已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
证明：（1）当时，，猜想成立；
（2）若时猜想成立，即，那么，当时，所以，当时，猜想也成立.
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n,猜想都成立.
概念
1.数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基) 证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推) 以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系
记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真.
(1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；
(2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真.
只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.
三、例题解析
例1.用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么，
an= a1 +n−1d ① 对任何n∈N∗都成立.
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果n=k时, ①式正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边= a1 +0×d=a1, ①式成立.
（2）假设当n=k(k∈N∗)时， ①式成立，即ak=a1+k−1d
根据等差数列的定义，有ak+1−ak=d,
于是ak+1= ak +d= a1+k−1d+d = a1+ k−1+1d
= a1+ k+1−1d
即当n=k+1时， ①式也成立
由（1）（2）可知， ①式对任何n∈N∗都成立
四、课堂练习
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________.
【答案】n＝3
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4
【答案】B
3．用数学归纳法证明“”，需验证时的式子为__________．
【答案】
4．用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
【答案】C
5．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】D
五、总结
六、作业
作业本：数学归纳法第一课时