人教A版 (2019)4.3 等比数列第1课时教案

这是一份人教A版 (2019)4.3 等比数列第1课时教案，共1页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并能应用公式解决一些简单问题．
2.在公式的推导中渗透了特殊到一般、一般到特殊、类比、分类讨论等数学思想，培养学生逻辑思维能力和逆向思维的能力．
3.通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美
二、教学重难点
重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用．
难点：用错位相减法推导等比数列前项和公式及等比数列前项和公式的运用．

三、教学过程
（一）创设情境
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
思考：（1）如果把棋盘格中所放的麦粒数看成一个数列，会得的怎样的数列呢?
答：得到一个等比数列，数列的首项是1，公比是2，一共有64项.
一共有多少颗麦粒呢?国王能实现他的愿望吗?
答：麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
师生活动：教师引导学生从实际背景中抽象出等比数列模型，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.由于项数较多，直接计算繁琐不易操作，适时引起学生的认知冲突，引人本课时重点探究内容.
设计意图：通过将实际问题抽象成数学问题，激起学生的认知冲突，引入本课时的学习内容，为学生后续探究公式作准备.
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？一起来探究吧！
（二）探究新知
任务1：探索等比数列的前n项和公式.
师生活动：教师启发学生思考，看能否利用已有的经验和方法，比如等差数列前n项和公式推导所用的“倒序相加法”去推导.碰到困难后，师生一起分析原因，引导学生从等比数列的概念去展开思考.
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
根据等比数列的通项公式，上式可写成
Sn＝a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1. ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q+a1q2+⋯+a1qn−1+a1qn. ②
①②两式的右边有很多相同的项，
用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，
可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1−q)Sn＝a1(1−qn)．
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
Sn=a1(1−qn)1−q(q≠1) (1)
因为an=a1qn−1,所以公式（1）还可以写成
Sn=a1(1−qn)1−q(q≠1) (2)
思考： 当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？
Sn=na1 (q=1)
总结：比数列的前n项和公式
当q=1时，Sn=na1
上述推导等比数列的前n项和公式的方法，称为“错位相减法”.
有了上述公式，就可以解决“情境”中提出的问题了.
由a1=1,q=2,n=64，可得
S64=1×(1−264)1−2=264−1
264−1这个数很大，超过了1.84×1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.
因此，国王根本不可能实现他的诺言.
思考：当数列满足什么特点时，可以用“错位相减法”求前n项和？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
（三）应用举例
例1 已知数列{an}是等比数列.
（1）若a1=12，q=12，求S8；
（2）若a1=27，a9=1243，q