高中数学数学归纳法表格教学设计及反思

这是一份高中数学数学归纳法表格教学设计及反思，共5页。教案主要包含了反思提高等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
数学归纳法（第二课时）
教科书
书 名：普通高中教科书数学选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。
让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范。
教学内容
教学重点：
进一步理解数学归纳法中n和n+1的关系。
2. 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。
教学难点：
1. 用n=k是的假设推导n=k+1时的命题。
2. 让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范。
教学过程
复习
1.数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基) 证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推) 以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系
记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真.
(1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；
(2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真.
只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.
3.练习
某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，命题不成立
B．当时，命题可能成立
C．当时，命题不成立
D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
【答案】A
二、数学归纳法应用
例1 用数学归纳法证明：. ②
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，②式成立”为条件，得出“当n=k+1时，②式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件。
证明：（1）当n=1时，②式的左边=12=1，
右边=16×1×1+1×2×1+1=1×2×36=1 所以②式成立。
（2）假设当n=k（kϵN∗）时，②式成立，即
12+22+…+k2=16kk+12k+1
在上式两边同时加上(k+1)2,有
12+22+…+k2+k+12=16kk+12k+1+k+12
=k+12k+1+6k+126=k+12k2+7k+66=(K+1)(k+2)(2k+3)6
=16k+1k+1+1[2k+1+1]即当n=k+1时，②式也成立
由（1）（2）可知，②式对任何都成立.
【反思提高】用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
（1）弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
（2）弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
（3）证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
跟踪训练 求证: 1-12+13−14+…+12n−1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).
证明:（1）当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,所以等式成立.
（2）假设n=k(k∈N*)时,1-12+13−14+…+12k−1−12k=1k+1+1k+2+…+12k成立.
那么当n=k+1时,
1-12+13−14+…+12k−1−12k+12(k+1)−1−12(k+1)=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1−12(k+1)
=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+[1k+1−12(k+1)]
=1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+1(k+1)+k+12(k+1),所以n=k+1时,等式也成立.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
例2 用数学归纳法证明：.
证明：(1)当时，左边，右边，不等式成立.
(2)假设当，时，不等式成立，即有，
则当时，左边
， 又
即，
即当时，不等式也成立.
综上可得，对于任意，成立.
跟踪练习：证明不等式，恒成立.
【反思提高】用数学归纳法证明恒等式、不等式时, 应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时不等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1不等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，(1+x)n−1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析：该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
解：由已知可得Sn＝1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n−1.
当n＝2时，S2＝1+（1+x）＝2+x，由x>0，可得S2>2；
当n＝3时，S3＝1+（1+x）+（1+x）2＝3+3x+x2，由x>0，可得S3>3.
由此，我们猜想，当x>0，n∈N∗且n>1时，Sn>n.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n＝2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N∗，且k≥2）时，不等式成立，即Sk>k，
由x>0，可得1+x>1，所以（1+x）k>1.
于是Sk+1＝Sk+（1+x）k >k+（1+x）k>k+1，
所以，当n＝k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立.
【反思提高】“归纳—猜想—证明”的一般环节

三、课堂练习
1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上（ ）
A．增加一项B．增加2k+1项C．增加2k项D．增加2项
【答案】B
2．数列的前n项和记为，已知．
（1）求的值，猜想的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．
【详解】（1）∵，∴，，．
∴猜想．
（2）①当时，，猜想成立．
②假设当时，猜想成立，即，
∴当时，，
∴当时猜想成立．
由①②得，得证．
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，且S4＝20，a5＝10． （1）求Sn；
（2）用数学归纳法证明：S1+S2+S3+⋯+Sn＞n(n+1)2(n∈N+)．
【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S4＝20，a5＝10，
∴4a1+4×(4−1)2d=20a1+4d=10，解得a1=2d=2，∴Sn=n2+n．
（2）证明：当n＝1时，S1=2＞1，
假设n＝k时不等式成立，即S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sk＞k(k+1)2，
当n＝k+1时，S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sk+Sk+1＞k(k+1)2+(k+1)(k+2)
＞k(k+1)2+(k+1)2=k(k+1)2+k+1=(k+1)(k+2)2，即n＝k+1时不等式成立，
由（1）（2）可知，对于任意n∈N+，不等式都成立，即得证．
六、作业
作业本：数学归纳法第二课时