专题1.2 整式与因式分解（举一反三复习讲义）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29816" 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 PAGEREF _Tc29816 \h 2
\l "_Tc21965" 【题型1 代数式的概念及意义】 PAGEREF _Tc21965 \h 3
\l "_Tc26798" 【题型2 列代数式】 PAGEREF _Tc26798 \h 4
\l "_Tc8925" 【题型3 代数式求值】 PAGEREF _Tc8925 \h 4
\l "_Tc5513" 【考点二 整式的相关概念】 PAGEREF _Tc5513 \h 5
\l "_Tc11468" 【题型4 整式的相关概念】 PAGEREF _Tc11468 \h 6
\l "_Tc24666" 【题型5 与整式有关的开放性问题】 PAGEREF _Tc24666 \h 6
\l "_Tc17433" 【题型6 整式有关的规律探究】 PAGEREF _Tc17433 \h 6
\l "_Tc7763" 【考点三 合并同类项与去括号法则】 PAGEREF _Tc7763 \h 7
\l "_Tc15666" 【题型7 同类项的概念】 PAGEREF _Tc15666 \h 8
\l "_Tc24097" 【题型8 合并同类项】 PAGEREF _Tc24097 \h 9
\l "_Tc12319" 【题型9 添（去）括号法则】 PAGEREF _Tc12319 \h 9
\l "_Tc21365" 【考点四 整式的运算】 PAGEREF _Tc21365 \h 9
\l "_Tc13937" 【题型10 整式的加减】 PAGEREF _Tc13937 \h 12
\l "_Tc7097" 【题型11 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc7097 \h 13
\l "_Tc8600" 【题型12 幂的运算及其逆运算】 PAGEREF _Tc8600 \h 14
\l "_Tc3460" 【题型13 整式的乘除】 PAGEREF _Tc3460 \h 14
\l "_Tc13593" 【题型14 乘法公式】 PAGEREF _Tc13593 \h 15
\l "_Tc4228" 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 PAGEREF _Tc4228 \h 16
\l "_Tc2867" 【题型16 整式混合运算的应用】 PAGEREF _Tc2867 \h 17
\l "_Tc10752" 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc10752 \h 18
\l "_Tc16378" 【考点五 因式分解】 PAGEREF _Tc16378 \h 18
\l "_Tc2589" 【题型18 提公因式分解因式】 PAGEREF _Tc2589 \h 18
\l "_Tc7661" 【题型19 公式法分解因式】 PAGEREF _Tc7661 \h 20
\l "_Tc2182" 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 PAGEREF _Tc2182 \h 20
\l "_Tc8333" 【题型21 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc8333 \h 21
【考点一 代数式的概念与代数式求值】
知识点1 用含字母的式子表示数
用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便．
用含字母的式子表示数的书写规则：
（1）字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“⋅”；
（2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；
（3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数；
（4）字母与字母相除时，要写成分数的形式．
（5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号．
知识点2 代数式的概念
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式．
知识点3 代数式的意义
根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义．
知识点4 列代数式
把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为a-b；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即aa−b（填完整的代数式）．
知识点5 代数式的值的概念
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当x=−5时，代数式(x+2)2=(−5+2)2=(−3)2=9，那么9就是当x=−5时，代数式(x+2)2的值．
知识点6 求代数式的值的步骤
求代数式的值有代入和计算两步．
第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变．
第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同．
【题型1 代数式的概念及意义】
【例1】（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客a人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“a+100”的实际意义是（ ）
A．第一天比第二天多预约的游客人数B．第二天比第一天多预约的游客人数
C．两天网络预约游客的总人数D．第二天网络预约的游客人数
【变式1-1】（2025·河北保定·模拟预测）下列各式中，书写格式正确的是（ ）
A．3⋅12B．mn4+2.3C．213xD．ab×5
【变式1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）在式子5，x=2，a，3，m+n>0，st中，属于代数式的有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【变式1-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x小时，他一共走的路程是3x米．请你对“3x”再给出另一个实际生活方面的解释：
【题型2 列代数式】
【例2】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m>1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6mB．m+10C．60mD．10m
【变式2-1】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
【变式2-2】（2025·上海·中考真题）用代数式表示a与b差的平方，正确的是（ ）
A．a2−b2B．a−b2C．a2−bD．a−b2
【变式2-3】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
【题型3 代数式求值】
【例3】（2025·四川·中考真题）若2x−y=5，则4x−2y−9= ．
【变式3-1】（2025·海南·中考真题）当x=2时，代数式2x−3的值为（ ）
A．1B．7C．−1D．−5
【变式3-2】（2025·四川自贡·中考真题）若2a+b=−1，则4a2+2ab−b的值为 ．
【变式3-3】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b= ．

【考点二 整式的相关概念】
知识点7 单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0．
知识点8 多项式
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
知识点9 整式
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
【题型4 整式的相关概念】
【例4】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式23πx3的次数为4次B．24a+bc2是二项式
C．关于x的代数式ax2+bx+c是三项式D．3aa≠0是单项式
【变式4-1】（2025·上海松江·模拟预测）单项式−5x2y36的次数是 ．
【变式4-2】（2025·广东惠州·三模）已知多项式(2m−5n)x3−3x6n−2m+x−3的次数为2，则m+2n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0，其中n，an,an−1，⋯，a1,a0为自然数，an为正整数，且满足n+maxan,an−1,...,a0=4，其中maxan,an−1,⋯,a0表示an,an−1,⋯,a0中最大的数．下列说法：
①满足条件的整式M 中只有4个单项式；
②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6；
③当n≤2时，满足条件的整式M 共有19个．
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【题型5 与整式有关的开放性问题】
【例5】（2025·浙江金华·模拟预测）请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式： ．
【变式5-1】（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式：
①只含有字母a和b；②每一项的次数都是2；③按字母a的降幂排列．
【变式5-2】（2025·河南郑州·三模）写出一个次数为5，系数为−2的单项式： ．
【变式5-3】（2024·河南漯河·二模）写出一个含有因式m−n的多项式 ．
【题型6 整式有关的规律探究】
【例6】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：−xy,x2y3,−x3y5,x4y7,⋯，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（ ）
A．−x15y27B．−x15y29C．x13y27D．x13y29
【变式6-1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示）
【变式6-2】（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：12x+y，13x2−2y3，14x3+3y5，15x4−4y7，…，则第n个多项式是（ ）
A．1nxn+1−−1nny2n−1B．1n+1xn+1+−1nny2n−1
C．1n+1xn−−1n−1ny2n−1D．1n+1xn+−1n−1ny2n−1
【变式6-3】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题．
(1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形．
(2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？
【考点三 合并同类项与去括号法则】
知识点10 同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．
知识点11 合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．
合并同类项的一般步骤：
知识点12 去括号
1. 去括号方法
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac.
3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
【题型7 同类项的概念】
【例7】（2025·云南·三模）下列单项式中，−x2y3的同类项是（ ）
A．3x2yB．−xy23C．3x2y2D．−xy
【变式7-1】（2025·河南周口·一模）请写出−3b2的一个同类项： ．
【变式7-2】（2025·河北廊坊·模拟预测）如果单项式−xyb+1与12xa−2y3是同类项，那么a−b= ．
【变式7-3】（2025·广东汕头·二模）若12xn−2my4与−x3y2n是同类项，则点m,n关于原点的对称点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型8 合并同类项】
【例8】（2025·天津·中考真题）计算3x−x−5x的结果为 ．
【变式8-1】（2025·河北·中考真题）计算：2a2+4a2= ．
【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：m▽n=3mn−n2，则a▽2a的运算结果是 ．
【变式8-3】（2025·福建南平·二模）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b=2abB．2a2b−a2b=a2bC．3a2+2a2=5aD．2a−a=2
【题型9 添（去）括号法则】
【例9】（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．−a+3=−a+3C．−2×3a=−6aD．2ab÷12=ab
【变式9-1】（2025·上海·模拟预测）化简：23x2+y−2x2−y = ．
【变式9-2】（2025·贵州贵阳·二模）下列运算正确的是（ ）
A．+a−b=−a+bB．−−x+y=x+y
C．+−x+y=x+yD．−a−b=−a+b
【变式9-3】（2025·山西临汾·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．a+b−c=a−b−cB．a−2b+c=a−2b+c
C．a+3b−c=a−3b−3cD．a−4b+c=a−4b−4c
【考点四 整式的运算】
知识点13 整式的加减
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，−2(x−3x+5x−7x+6)=−2(−4x+6)=8x−12．
知识点14 同底数幂的乘法
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
am⋅an=(a⋅a⋅⋯⋅am个a)⋅(a⋅a⋅⋯⋅an个a)=(a⋅a⋅⋯⋅a(m+n)个a)=am+n
因此，我们有am⋅an=am+n(m，n都是正整数)．
2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：am⋅an⋅ap=am+n+p(m，n，p都是正整数)；am+n=am⋅an(m，n都是正整数)．如23⋅24⋅25=23+4+5=212；28=23⋅25．
知识点15 幂的乘方
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
(am)n=am⋅am⋅⋯⋅amn个am=am+m+⋯+mn个m=amn．
因此，我们有(am)n=amn(m，n都是正整数)．
底数a为负数时，(−am)n=amn，n为偶数，−amn，n为奇数．
2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点
乘法法则
乘方法则
am⋅an=am+n
指数相加
(am)n=amn
指数相乘
底数不变，
其中m，n
都是正整数
知识点16 积的乘方
1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
(ab)n=(ab)⋅(ab)⋅⋯⋅(ab)n个ab=(a⋅a⋅⋯⋅an个a)⋅(b⋅b⋅⋯⋅bn个b)=anbn．
因此，我们有(ab)n=anbn(n为正整数)．
2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
知识点17 同底数幂的除法
一般地，我们有am÷an=am−n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
知识点18 整式的乘法
知识点19 平方差公式
1. 平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
2. 平方差公式的探究
图（1）中阴影部分的面积S=a2−b2，图（2）中阴影部分的面积S=(a+b)⋅(a−b)，故可得(a+b)⋅(a−b)=a2−b2．
3. 特点
（1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方；
（3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式．
知识点20 完全平方公式
1. 完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式．
2. 完全平方公式的探究
图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：S=(a+b)2，S=a2+b2+2ab，故(a+b)2=a2+b2+2ab．
图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：S=(a−b)2，S=a2−2ab+b2，故(a−b)2=a2−2ab+b2．
3. 特点
（1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同；
（2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同．
知识点21 单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式．
知识点22 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【题型10 整式的加减】
【例10】（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚．
(1)小明认为“■”是“−1”，请求出这道题的结果；
(2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题：
①小刚说：“当x的值是−1时，这道题的值为−2”，求此时系数“■”的值；
②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值．
【变式10-1】（2025·浙江·中考真题）化简求值：x(5−x)+x2+3，其中x=2．
【变式10-2】（2023·江苏泰州·中考真题）若2a−b+3=0，则2(2a+b)−4b的值为 ．
【变式10-3】（2025·四川宜宾·中考真题）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5= ．
【题型11 整式加减的应用】
【例11】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为3−1=2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，则a与b,c的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【变式11-1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4nB．4mC．2m+nD．4m−n
【变式11-2】（2025·江苏盐城·二模）阅读思考
某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下：
入学年份班级学号考场号座位号学验码
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b
步骤3：计算3a与b的和c，
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，
步骤5：计算d与c的差就是校验码*，
(1)某同学的准考证条形码号为202219011512∗，计算d的值为___________，校验码*的值是___________；
(2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由．
(3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由．
【变式11-3】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+b=c+d=10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M′=dcba，记F(M)=M−M′909，G(M)=M+M′11．若4F(M)+G(M)+1513与ab+cd17均是整数，则满足条件的M的值是 ．
【题型12 幂的运算及其逆运算】
【例12】（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为a3的是（ ）
A．a+a2B．a23C．a⋅a2D．a9÷a3
【变式12-1】（2025·陕西·中考真题）计算a2⋅a3÷a的结果为（ ）
A．a7B．a6C．a5D．a4
【变式12-2】（2025·四川乐山·中考真题）已知：am=3,an=2，则，am+2n= ．
【变式12-3】（2025·江苏宿迁·二模）若ax=by=10z（其中a，b是正整数），且有1x+1y=1z，则2a+b的值是 ．
【题型13 整式的乘除】
【例13】（2025·浙江温州·模拟预测）定义一种新运算：a☆b=ab−a2，则x☆x+y= ．
【变式13-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为S1和S2．
(1)正方形的边长=______（用含a的式子表示）；
(2)比较S1______S2（填写“>”“b>0．
(1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？
(2)当a=4,b=2时，这两块花坛一共种植了多少株？
【变式16-3】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为ama>1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为a−1m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】
【例17】（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B=2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A=A⊕A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕Ak个A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数m，n为常数，记M=m⊗x2+31xy，N=n⊗y2−14xy，若M⊕N不含xy项，则mn= ．
【变式17-1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：a*b=ab−b2，则3m*m的运算结果是 ．
【变式17-2】（2023·河北邯郸·一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称a是“4倍数”．
(1)验证：嘉嘉说：232−212是“4倍数”，琪琪说：122−6×12+9也是“4倍数”，判断他们谁说得对？
(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是2n（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
【变式17-3】（2025·重庆·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数A=abcd，若满足a2+b2=10d+c，则称这个数为“方和数”．例如，四位数2331，∵22+32=10×1+3，∴2331是“方和数”．若8x56是“方和数”，那么x= ；将“方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“方和数”A′，规定FA=A−A′5400，已知一个四位数N=2000a+300b+10c+21≤a≤4,1≤b≤3,1≤c≤9是“方和数”，若6FN⋅2a+3b+c能被6整除，则满足条件的N的值为 ．
【考点五 因式分解】
知识点23 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
知识点24 用提公因式法分解因式
1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
2.怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
3.提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
4.提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
知识点25 用平方差公式分解因式
1.平方差公式的等号两边互换位置，得a2−b2=(a+b)(a−b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
知识点26 用完全平方公式分解因式
1.完全平方公式的等号两边互换位置，得a2+2ab+b2=(a+b)2, a2−2ab+b2=(a−b)2
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
3.公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型18 提公因式分解因式】
【例18】（2023·山东·中考真题）因式分解：m2−4m= ．
【变式18-1】多项式mx2−m与多项式x2−2x+1的公因式是（ ）
A．x−1B．x+1C．x2−1D．(x−1)2
【变式18-2】（2025·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2021．
【变式18-3】设y=kx，是否存在实数k，使得代数式(x2−y2)(4x2−y2)+3x2(4x2−y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k值，若不能，请说明理由.
【题型19 公式法分解因式】
【例19】（2025·四川成都·中考真题）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【变式19-1】（2025·广西·中考真题）因式分解：a2−1=（ ）
A．(a+1)(a−1)B．a(a+1)C．(a+1)2D．(a−1)2
【变式19-2】（2025·山东东营·一模）因式分解：a2+2a−3＝ ．
【变式19-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：66×67×68×69+1．
【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】
【例20】（2025·山东东营·中考真题）因式分解2x2y−4xy2+2y3= ．
【变式20-1】（2025·云南昭通·模拟预测）因式分解：2x2−18= ．
【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
(1)若抽中的卡片是A．
①求整式C；
②当x=−2时，求整式C的值；
(2)若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片．
【变式20-3】（2025·河北秦皇岛·一模）整式A、B、C、D如表所示．
(1)将整式A进行因式分解；
(2)化简整式D，当C=18，D=8时，求a和b的值．
【题型21 因式分解的应用】
【例21】（2025·安徽合肥·一模）已知a，b为实数，且满足a2+b2+4a−6b+13=0，则点a,b到原点的距离为
【变式21-1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，S1、S2分别表示两个阴影部分的面积．若m+n=9，mn=15，则S1−S2=（ ）
A．6B．21C．921D．951
【变式21-2】（2025·四川南充·模拟预测）设a，b，c为整数，且对一切实数x都有x−ax−8+1=x−bx−c恒成立，则a+b+c= ．
【变式21-3】（2025·四川资阳·模拟预测）阅读材料1：若一个正整数x能表示成a2−b2（a、b是正整数，且a>b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5=32−22，所以5 是“风月同天数”，5=32−22叫做5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”．
(1)在7和2中是“风月同天数”的是 ；
(2)已知M=x2−y2+10x−8y+k（x、y是正整数，k是常数，且x+1>y），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由；
(3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解．
中考考点要求
近年考情分析
核心解题策略
本部分核心在于掌握整式与因式分解的基本概念与核心技能。具体要求包括：准确理解单项式、多项式的相关概念（系数、次数、项）；熟练运用幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）进行运算；掌握整式的加、减、乘（特别是单项式乘多项式、多项式乘多项式）运算法则；熟练掌握因式分解的两种基本方法——提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式），并理解因式分解与整式乘法是互逆变形。
中考对此部分的考查呈现出“双基为重、适度综合”的鲜明特点。直接考查幂的运算、整式乘法或因式分解的纯基础题仍占相当比例，旨在检验运算的熟练度与准确性。主要的命题趋势是将这些运算技能融入更复杂的代数情境中进行考查，例如：作为化简求值的一步，在分式运算、二次根式运算、解方程（组）中作为关键环节，或与规律探究、数形结合（如用图形面积解释公式）等问题相结合。试题对运算过程的规范性和结果的简洁性有明确要求。
1. 运算规范优先：进行幂的运算时，务必先确定运算类型，再严格套用相应法则（如“底数不变，指数相加/减/乘”），特别注意符号和指数的处理。
2. 乘法与分解的互逆思维：进行多项式乘法时，要有意识地与公式结构对照；进行因式分解时，则要逆向联想乘法公式。步骤上坚持“一提（公因式）、二套（公式）、三检查（是否分解彻底）”。
3. 整体思想与降次思想：面对复杂式子，善于将某一部分看作一个整体进行运算或分解。在求值或化简时，利用因式分解实现降次，是简化问题的关键技巧。
单项式与单项式相乘
法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质
示例
(−5a2b)(−3a)=(−5)×(−3)(a2⋅a)b=15a3b
单项式与多项式相乘
法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式
示例
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘
法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式
示例
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
计算：■x2+6x+8−32x+x2−1
解：
整式A
整式B
a2−b2
a−b
C=A+B
D=AB