专题1.3 分式（举一反三专项训练）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

这是一份专题1.3 分式（举一反三专项训练）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版），文件包含专题13分式举一反三专项训练解析版docx、专题13分式举一反三专项训练试题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
目录
第一部分 题型专练TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26708" 【考点一 分式的相关概念】 PAGEREF _Tc26708 \h 2
\l "_Tc7409" 【题型1 分式有（无）意义的条件】 PAGEREF _Tc7409 \h 2
\l "_Tc29594" 【题型2 分式值为0的条件】 PAGEREF _Tc29594 \h 3
\l "_Tc1939" 【题型3 分式的值】 PAGEREF _Tc1939 \h 5
\l "_Tc25469" 【题型4 分式的规律探究】 PAGEREF _Tc25469 \h 7
\l "_Tc10548" 【考点二 分式的性质】 PAGEREF _Tc10548 \h 11
\l "_Tc10460" 【题型5 分式的基本性质运用】 PAGEREF _Tc10460 \h 11
\l "_Tc24551" 【题型6 最简公分母与最简分式】 PAGEREF _Tc24551 \h 13
\l "_Tc24434" 【题型7 约分与通分】 PAGEREF _Tc24434 \h 15
\l "_Tc24257" 【考点三 分式的运算】 PAGEREF _Tc24257 \h 18
\l "_Tc25391" 【题型8 分式的加减运算】 PAGEREF _Tc25391 \h 18
\l "_Tc6721" 【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】 PAGEREF _Tc6721 \h 20
\l "_Tc1450" 【题型10 分式的混合运算】 PAGEREF _Tc1450 \h 22
\l "_Tc14471" 【题型11 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc14471 \h 24
\l "_Tc3030" 【题型12 分式的大小比较】 PAGEREF _Tc3030 \h 26
\l "_Tc11434" 【题型13 与分式运算有关的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc11434 \h 28
\l "_Tc7833" 【题型14 与分式运算有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc7833 \h 33
第二部分 分层突破
A组 基础跟踪练
B组 培优提升练
【考点一 分式的相关概念】
【题型1 分式有（无）意义的条件】
【例1】（2025·云南·模拟预测）若分式 x+12x+4有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠−1 C．x≠2 D．x≠−2
【答案】D
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，2x+4≠0，
∴x≠−2；
故选D．
【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）函数 y=x+1x中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥−1且x≠0B．x≥−1C．x≥1D．x>0
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．
根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
x+1≥0且x≠0，
解得x≥−1且x≠0．
故选A．
【变式1-2】（2025·青海西宁·中考真题）当x=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A．x−1x−1B．x−1xC．x−2x−1D．x−2x
【答案】B
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可．
【详解】解：当x=1时，x−1=0，x−2=−11D．a>2
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得a−1=1或a−1=2，从而可得答案．
【详解】解：a+1a−1−a2+1a2−2a+1÷1a−1
=a+1a−1−a2+1(a−1)2⋅a−1
=a2−1a−12−a2+1(a−1)2⋅a−1
=−2a−12⋅a−1
=−2a−1；
∵分式的值为负整数，
∴a−1=1或a−1=2，
则a=2或3．
故选：B
【题型4 分式的规律探究】
【例4】（2025·重庆·模拟预测）方程A:kx−y+1=0，其中k>0，对x的系数k作变化：得到方程A1:k1x−y+1=0，其中k1=11k+1，称为对方程A进行一次“偏移变化”，再对方程A1中x的系数k1作变化：得到方程A2:k2x−y+1=0，其中k2=11k1+1，称为对方程A进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记dn=1kkn−k为偏移距离（n为正整数），Mn=11−d1+11−d2+⋯+11−dn，则以下说法中，正确的个数是（ ）
①当k=2时，x=14y=5是对方程A进行三次“偏移变化”后得到方程A3的一组解；
②存在一个k值，使得对方程A进行偏移变化，偏移距离为1516；
③满足使M8M3为整数的k的最小值为118
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值．①当k=2时，先求得k1，k2，k3的值，得到A3:27x−y+1=0，将x=14代入求解即可判断；②当n=1时，推出d1=k1+k=1516，解得k=15，据此可判断；③先求得k1，k2，k3的值，得到规律kn=knk+1，求得dn=nknk+1，再求得M1，M2，M3的值，得到规律求得M8=36k+8，求得M8M3=36k+86k+3，据此计算即可判断．
【详解】解：①当k=2时，k1=11k+1=112+1=23，
k2=11k1+1=1123+1=25，
k3=11k2+1=1125+1=27，
∴A3:27x−y+1=0，
将x=14代入，有27×14−y+1=0，
解得y=5，
故x=14y=5是方程A3的一组解；故①正确；
②当n=1时，d1=1kk1−k=1k11k+1−k=1kk1+k−k
=1kk−k−k21+k=k1+k，
令d1=k1+k=1516，
解得k=15，故②正确；
③k1=11k+1=kk+1，
k2=11k1+1=k2k+1，
k3=11k2+1=k3k+1，
⋯，
kn=knk+1，
∴dn=1kkn−k=1kknk+1−k=nknk+1，
∵M1=11−d1=11−kk+1=k+1，
M2=11−d1+11−d2=k+1+11−2k2k+1=3k+2，
M3=11−d1+11−d2+11−d3=k+1+2k+1+11−3k3k+1=6k+3，
⋯，
∴M8=k+1+2k+1+⋯+7k+1+8k+1=36k+8，
∴M8M3=36k+86k+3，
当M8M3=1时，36k+8=6k+3，解得k=−16(舍去)；
当M8M3=2时，36k+8=26k+3，解得k=−112(舍去)；
当M8M3=3时，36k+8=36k+3，解得k=118；
当M8M3=4时，36k+8=46k+3，解得k=13；
当M8M3=5时，36k+8=56k+3，解得k=76；
∴k的最小值为118，故③正确；
综上，①②③都是正确的，
故选：D．
【变式4-1】（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律．
第1个等式：43+1−1=223；
第2个等式：54+2−1=324；
第3个等式：65+3−1=425；
……
(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：______．
(2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立．
【答案】(1)76+4−1=526
(2)n+3n+2+n−1=n+12n+2，见解析
【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算．
（1）模仿题意，直接写出第4个等式即可．
（2）结合（1）的结论，得n+3n+2+n−1=(n+1)2n+2，再把等式左边和右边进行变形整理，即可作答．
【详解】（1）根据题意得，第4个等式：76+4−1=526；
（2）猜想第n个等式为n+3n+2+n−1=(n+1)2n+2．
证明：等式左边=n+3n+2+n2+n−2n+2=n2+2n+1n+2，
等式右边=n2+2n+1n+2，
∴左边=右边，
∴第n个等式为n+3n+2+n−1=(n+1)2n+2．
【变式4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=11−S1，S3=11−S2，S4=11−S3，… 按此规律，请用含a的代数式表示S2022= ．
【答案】a+1/ 1+a
【分析】根据题意可得S2=11−S1=−1a，S3=11−S2=aa+1，S4=11−S3=a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【详解】解：∵S1=a+1（a不取0和-1），
∴S2=11−S1=−1a，
S3=11−S2=aa+1，
S4=11−S3=a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3=673…1，
∴S2020=a+1．
故答案为：a+1．
【点睛】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
【变式4-3】（2025·山东威海·一模）一组数据x1,x2,x3,⋯,xn（n是正整数）有这样的规律：从第二个数x2开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若x2=5，则x7=45；②若x1=2，则x1+x2+x3+⋯+x2025=20252；③若x1+1x2+1x12=−1，则x1=±2．正确的个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键．
利用题干的规定：设x1=a，则x2=11−a,x3=a−1a,x4=a,⋯⋯，得到x1,x2,x3,……,xn，（n是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为a,11−a,a−1a，利用此规律对每个说法进行判断即可．
【详解】解：设x1=a，
则x2=11−a，x3=11−11−a=a−1a，x4=11−a−1a=a，x5=11−a，x6=a−1a，x7=a，
∴x1,x2,x3,……,xn,n是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为a,11−a,a−1a，
∵7÷3=2⋯1，
∴x7=x1，
若x2=5，
∴11−a=5，
∴a=45=x1，
∴x7=45，
∴说法①正确；
若x1=2，则x2=−1,x3=12，
∴x1+x2+x3=32，
∵2025÷3=675，
∴x1+x2+x3+⋯+x2025=675×32=20252，
∴说法②正确；
∵12÷3=4，
∴x12=x3，
∵x1+1x2+1x12=−1,x1=a,x2=11−a,x3=a−1a，
∴(a+1)11−a+1a−1a=−1，
解得：a=±2，经检验，a的值是方程的解，
即x1=±2，
∴说法③正确．
故选：A．
【考点二 分式的性质】
【题型5 分式的基本性质运用】
【例5】（2025·江苏南京·模拟预测）下列等式一定成立的是（ ）
A．34=3+a4+aB．2xyy2=2xyC．ab=acbcD．a2b2=ab
【答案】B
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A. 当a=0时，34=3+a4+a，故该选项不正确，不符合题意；
B. 2xyy2=2xy，故该选项正确，符合题意；
C. 当c≠0时，ab=acbc，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当a≠b时，a2b2≠ab，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【变式5-1】（2025·四川攀枝花·模拟预测）如果将分式xx+y中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的13D．缩小到原来的16
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题．
【详解】解：如果将分式xx+y中的x和y都扩大到原来的3倍，
则3x3x+3y=3x3x+y=xx+y，
∴分式的值不变，
故选：A．
【变式5-2】（2025·河北·一模）不改变分式的值，将分式0.02x+0.5yx+0.004y中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ）
A．5x+125y250x+yB．20x+500y100x+4yC．2x+50y1000x+4yD．2x+5yx+4y
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：0.02x+0.5yx+0.004y
＝1000×0.02x+0.5y1000×x+0.004y
＝20x+500y1000x+4y
＝5x+125y250x+y，
故选：A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
【变式5-3】（2025·浙江杭州·一模）把电阻值分别为R1，R2的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足1R=1R1+1R2．当R1=2R2时，RR2= ．
【答案】23
【分析】本题主要考查了分式的基本性质、异分母的分式加减运算等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键．
将R1=2R2代入1R=1R1+1R2用分式的加减运算法则运算，然后运用分式的基本性质整理即可解答．
【详解】解：将R1=2R2代入1R=1R1+1R2可得：1R=12R1+1R2=12R1+22R2=32R2，
所以RR2=23．
故答案为：23．
【题型6 最简公分母与最简分式】
【例6】（2025·山西太原·模拟预测）下列各式中最简分式是（ ）
A．42aB．a+1a2+2a+1C．a+1a−1a−1D．2aa2+1
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A. 42a=2×22×a，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意；
B. a+1a2+2a+1=a+1a+12，分子分母含有公因式a+1，不是最简分式，故不符合题意；
C. a+1a−1a−1分子分母含有公因式a−1，不是最简分式，故不符合题意；
D. 2aa2+1是最简分式，故符合题意；
故选：D．
【变式6-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）分式12x−4与12−x的最简公分母是（ ）
A．x－2B．x2−4 C．2(x−2)2D．2(x−2)
【答案】D
【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
【详解】分式12x−4=12(x−2)与12−x的最简公分母是2x−2，
故选：D．
【变式6-2】已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)2a+2a−2
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：A=2a2−8=2a2−4=2a+2a−2；
（2）解：①当选择A、B时：
BA=3a2+6a2a2−8=3aa+22a+2a−2=3a2a−4，
AB=2a2−83a2+6a=2a+2a−23aa+2=2a−43a；
②当选择A、C时：
CA=a3−4a2+4a2a2−8=aa−222a+2a−2=a2−2a2a+4，
AC=2a2−8a3−4a2+4a=2a+2a−2aa−22=2a+4a2−2a；
③当选择B、C时：
CB=a3−4a2+4a3a2+6a=aa−223aa+2=a2−4a+43a+6，
BC=3a2+6aa3−4a2+4a=3aa+2aa−22=3a+6a2−4a+4．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
【变式6-3】（2025·河北·二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去m2，同时B区就会自动加上2m，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是4和−8，如图．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，若A区、B区的代数式的值相等，求m的值；
(2)已知m≠1，从初始状态按4次后，若把A区的代数式作分子，B区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简．
【答案】(1)−1+7或者−1−7
(2)−1+m2
【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识，
（1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可．
【详解】（1）A区显示的结果为：4−m2−m2=4−2m2；
B区显示的结果为：−8+2m+2m=−8+4m，
根据A区、B区的代数式的值相等可得：4−2m2=−8+4m，
整理得：m2+2m−6=0，
解得：m1=−1+7，m2=−1−7，
即m的值为−1+7或者−1−7；
（2）设从初始状态按4次后，
A区显示的结果为：4−m2−m2−m2−m2=4−4m2；
B区显示的结果为：−8+2m+2m+2m+2m=−8+8m，
根据题意有分式：4−4m2−8+8m=41−m2−81−m=41+m1−m−81−m=−1+m2，
化简结果为：−1+m2．
【题型7 约分与通分】
【例7】（2025·河北唐山·二模）若分式x2−xA化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（ ）
A．x2B．xC．x−1D．xx−1
【答案】A
【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键．
对分子进行分解因式，根据A是x(x−1)的因式判断即可，
【详解】解：∵x2−xA=x(x−1)A化简后可以得到一个整式，
∴A是x(x−1)的因式，
∵选项中BCD都是x(x−1)的因式，A不是x(x−1)的因式，
∴整式A不可能是x2，
故选：A．
【变式7-1】（2025·河北·模拟预测）若将分式3mm+n与4n2m−n通分，则分式3mm+n的分子应变为（ ）
A．6m2−6mnB．6m−6n
C．2m−nD．2m−nm+n
【答案】A
【分析】分式3mm+n与4n2m−n的公分母是2m+nm−n，据此作出选择．
【详解】解：分式3mm+n与4n2m−n的公分母是2m+nm−n，则分式3mm+n的分子应变为6mm−n=6m2−6mn．
故选：A．
【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）用m+2m−2替换分式n−1n+1中的n后，经过化简结果是（ ）
A．2mB．2mC．m2D．12m
【答案】A
【分析】将n=m+2m−2代入n−1n+1进行化简即可得到答案．
【详解】由题意得，n=m+2m−2
∴n−1n+1=(m+2m−2−1)÷(m+2m−2+1)=(m+2m−2−m−2m−2)÷(m+2m−2+m−2m−2)
=4m−2÷2mm−2=4m−2·m−22m=2m
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，渗透了整体代入的数学思想，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x2−9x2+6x+9−2x+12x+6
=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)……第一步
=x−3x+3−2x+12(x+3)……第二步
=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)……第三步
=2x−6−(2x+1)2(x+3)……第四步
=2x−6−2x+12(x+3)……第五步
=−52x+6……第六步
（1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
（2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ．
【答案】 分式的基本性质 五 −72x+6
【分析】（1）明确分式通分的基本原理，即分式的基本性质，通过找到最简公分母来进行通分．
（2）仔细检查每一步的运算过程，找出错误步骤，然后按照正确的运算规则重新化简分式得到正确结果．
本题主要考查了分式的基本性质以及分式的化简运算．熟练掌握分式的基本性质，并能够准确运用其进行通分和分式运算，同时具备检查运算过程中错误的能力是解题的关键．
【详解】解：（1）通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的基本性质．
（2）x−3x+3−2x+12(x+3)
=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)
=2x−6−(2x+1)2(x+3)
=2x−6−2x−12(x+3)
=−72(x+3)
=−72x+6，
第五步开始出现错误，该分式化简后的正确结果为−72x+6．
故答案为：五；−72x+6．
【考点三 分式的运算】
【题型8 分式的加减运算】
【例8】计算：a2a+1−1a+1= ．
【答案】a−1．
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】解：a2a+1−1a+1=a2−1a+1=(a+1)(a−1)a+1=a−1．
故答案为：a−1．
【变式8-1】（2025·山东·模拟预测）若5x−7x2−4x−5=Ax+1+Bx−5，则A、B的值为（ ）
A．A=3，B=−2B．A=2，B=3
C．A=3，B=2D．A=−2，B=3
【答案】B
【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B．
【详解】解：Ax+1+Bx−5=Ax−5+Bx+1x+1x−5
=Ax−5A+Bx+Bx2−4x−5
=(A+B)x+(−5A+B)x2−4x−5．
∵5x−7x2−4x−5=Ax+1+Bx−5，
∴5x−7x2−4x−5=(A+B)x+(−5A+B)x2−4x−5，
∴A+B=5①−5A+B=−7②，
①−②得：6A=12，
∴A=2．
将A=2代入①中，解得：B=3，
∴方程组A+B=5①−5A+B=−7②的解为：A=2B=3．
故选B．
【变式8-2】（2025·河北邯郸·二模）对于任意实数x，规定fx=1x，则fx+fx+1=（ ）
A．2x+1xx+1B．2xC．2x−1xx−1D．2x−1
【答案】A
【分析】本题考查新定义，分式的加法．根据定义，分别写出fx和fx+1)的表达式，再通分相加即可．
【详解】解：∵f(x)=1x，f(x+1)=1x+1．
∴f(x)+f(x+1)=1x+1x+1=x+1+xxx+1=2x+1xx+1．
故选：A．
【变式8-3】（2025·贵州·一模）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：1x−5−10x2−25
解：原式=1x−5−10x+5x−5……第一步
=x+5x+5x−5−10x+5x−5……第二步
=x−5．……第三步
任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
【答案】任务一：三，分式的分母去掉了；任务二：见解析
【分析】本题考查了异分母分式加减法运算，解题的关键是熟练 运算法则．
任务一：根据异分母分式减法运算法则逐步判断即可得出答案；
任务二：根据异分母分式减法运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了；
故答案为：三；分式的分母去掉了；
任务二：原式=1x−5−10x+5x−5
=x+5x+5x−5−10x+5x−5
=x−5x+5x−5
=1x+5．
【题型9 分式的乘除（含乘方）运算】
【例9】（2025·辽宁·一模）化简：x2−4x2+4x+4÷x−2x−1
【答案】x−1x+2
【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简，即可作答．
【详解】解：x2−4x2+4x+4÷x−2x−1
=(x+2)(x−2)(x+2)2⋅x−1x−2
=x−1x+2．
【变式9-1】（2025·河北唐山·二模）已知A÷y−x2=2xx−y，则整式A= ．
【答案】−x
【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得A=2xx−y×y−x2，利用分式乘法法则计算即可．
【详解】解：根据题意：A=2xx−y×y−x2=2xx−y×−x−y2=−x，
故答案为：−x．
【变式9-2】在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示）
【答案】10mm−3
【分析】本题主要考查分式除法运算的应用．由题意易得一个人每天插秧的工作效率为110m，一台插秧机每天的工作效率为1m−3，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：一个人每天插秧的工作效率为110m，则一台插秧机每天的工作效率为1m−3，
∴1m−3÷110m=10mm−3；
答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的10mm−3倍．
故答案为：10mm−3．
【变式9-3】某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为ama>1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为a−1m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg
(2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；a+1a−1倍
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键．
（1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000−xkg，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得．
【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为1000−xkg，
由题意得：x=1.21000−x−100，
解得x=500，
则1000−x=1000−500=500，
答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg．
（2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为a2−1m2，“丰收2号”小麦试验田的面积为a−12m2，
则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为500a2−1kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为500a−12kg，
∵a>1，
∴a2−1−a−12=a2−1−a2−2a+1=2a−2=2a−1>0，
∴a2−1>a−12>0，
∴500a2−1NB．M=NC．M1n+1．
故P>Q，
故选：C．
【变式12-2】已知n>1，M=nn−1，N=n−1n，P=nn+1，则M、N、P的大小关系为 ．
【答案】M>P>N/N1,01,0N，
故答案为：M>P>N．
【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小，作差法比较大小的方法是：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−bc，那么a>b>c．
【变式12-3】（2025·福建龙岩·模拟预测）已知正实数a，b，c，d，使得ab=cd成立．
(1)求证：a+cc=b+dd；
(2)判断ab与c+bd+b的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
（1）根据等式的性质及分式性质证明即可；
（2）由ab=cd， 得ab−c+bd+b=bc−ddd+b，进而分c>d， c=d，及cd时c−d>0，bc−ddd+b>0，此时ab>c+bd+b，
当c=d时c−d=0，bc−ddd+b=0，此时ab=c+bd+b，
当c0x+2≠0，
解得x>−3且x≠−2，
故答案为：x>−3且x≠−2．
8．（2025·四川内江·模拟预测）已知实数a，b满足ab=1，则1a2+1+1b2+1= ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值是解题的关键．先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab=1代入进行计算即可．
【详解】解：1a2+1+1b2+1
=b2+1+a2+1(a2+1)(b2+1)
=a2+b2+2a2b2+a2+b2+1
=a2+b2+2(ab)2+a2+b2+1，
∵ab=1，
∴原式=a2+b2+212+a2+b2+1=a2+b2+2a2+b2+2=1．
故答案为：1．
9．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a1=x+1（x≠0且x≠−1），a2=11−a1,a3=11−a2,…,an=11−an−1，则a2024的值为 ．
【答案】−1x
【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为x+1，−1x，xx+1，进一步即可求出a2024．
【详解】解：∵a1=x+1，
∴a2=11−a1=11−x+1=−1x，
a3=11−a2=11−−1x=xx+1，
∴a4=11−a3=11−xx+1=11x+1=x+1，
∴a5=−1x，
a6=xx+1，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
∵2024÷3=674×3+2，
∴a2024=−1x．
故答案为：−1x．
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升acm，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的 倍．
【答案】2
【分析】本题考查了整式加减的应用、分式的应用，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题关键．设圆柱形杯子的底面积为Scm2S>0，先求出一个实心小球的体积为aS2cm3，再求出B杯溢出的液体的体积，则可得B杯溢出液体高度，然后求出C杯溢出的液体的体积，则可得D杯剩余的液体高度，由此即可得．
【详解】解：设圆柱形杯子的底面积为Scm2S>0，
则圆柱形杯子的体积为20Scm3，原来装有的液体的体积为15Scm3，
∵A杯放入2个小球，液面上升acm，液体未溢出，
∴一个实心小球的体积为aS2cm3，
∵B杯放入4个小球，液体溢出，
∴B杯溢出的液体的体积为aS2×4+15S−20S=2a−5Scm3，
∵将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，
∴B杯溢出液体高度为2a−5SS=2a−5cm，
∵C杯放入6个小球，液体溢出，
∴C杯溢出的液体的体积为aS2×6+15S−20S=3a−5Scm3，
∵C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯，
∴D杯剩余的液体高度为3a−5S−20S−15S−aSS=4a−10cm，
∴D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的4a−102a−5=22a−52a−5=2（倍），
故答案为：2．
11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A=10a+d，十位数字与百位数字组成的两位数为B=10c+b，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记GM=b+13c−a−d，当GM能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 是 8892
【分析】根据“开数”的定义判断1029是否为“开数”； 若M为“开数”，则A−B=10a+d−10c+b=−a+b，由此可得d=10c−11a，代入GM可得GM=b+1310a−9c，再根据GM能被7整除分析可得答案．
【详解】解：M=1029时，A=10×1+9=19，B=10×2+0=20，
A−B=19−20=−1，千位数字与百位数字和为：1+0=1，
∵ −1与1互为相反数，
∴1029是“开数”；
若M为“开数”，则A−B=10a+d−10c+b=−a+b，
∴ d=10c−11a，
∴ GM=b+13c−a−d=b+13c−a−10c−11a=b+1310a−9c，
∵ GM是7的倍数，
∴若要M最大，则b=8，a=8，c=9，
∴ d=10c−11a=10×9−11×8=2，
∴M最大值为8892．
故答案为：是，8892．
【点睛】本题考查数字整除问题，运用题设条件进行数值分析是解题的关键．
三、解答题
12．（2025·江西·中考真题）化简：1m+1+1m−1÷mm2+2m+1
【答案】2m+2m−1
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】解：1m+1+1m−1÷mm2+2m+1
=m−1m+1m−1+m+1m+1m−1÷mm+12
=2mm+1m−1⋅m+12m
=2m+2m−1．
13．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：a2+2a+1a2+a÷a−1a，其中a=2+1．
【答案】1a−1，22
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=a+12aa+1÷a2−1a
=a+1a⋅aa+1a−1
=1a−1；
当a=2+1时，
原式=12+1−1=12=22．
14．（2025·江西吉安·二模）在化简xx+3+xx−3⋅x2−9x的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程：
小明：原式=x(x−3)(x+3)(x−3)+x(x+3)(x+3)(x−3)⋅x2−9x
…
小红：原式=xx+3⋅x2−9x+xx−3⋅x2−9x
…
(1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律
(2)试选一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②；③
(2)见详解
【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用．
（1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律．
（2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律，
故答案为②；③．
（2）解：选择小明：
原式=x(x−3)(x+3)(x−3)+x(x+3)(x+3)(x−3)⋅x2−9x
=x2−3x+x2+3xx+3x−3⋅x+3x−3x
=2x2x+3x−3⋅x+3x−3x
=2x
选择小红：
原式=xx+3⋅x2−9x+xx−3⋅x2−9x
=xx+3⋅x+3x−3x+xx−3⋅x+3x−3x
=x−3+x+3
=2x
15．（2025·安徽·二模）观察下列等式：
第1个等式：35×2−12+1=2−32+1；
第2个等式：79×2−14+1=2−34+1；
第3个等式：1113×2−16+1=2−36+1；
第4个等式：1517×2−18+1=2−38+1；
．．．
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：___________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)1921×2−110+1=2−310+1
(2)4n−14n+1⋅2−12n+1=2−32n+1，见解析
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式混合运算，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为4n+1，分子是4n−1，第二项是2−12n+1，等式右边为2−32n+1．根据分式加减运算法则和分式混合运算法则进行验证即可．
【详解】（1）解：第1个等式：35×2−12+1=2−32+1；
第2个等式：79×2−14+1=2−34+1；
第3个等式：1113×2−16+1=2−36+1；
第4个等式：1517×2−18+1=2−38+1；
则第5个等式为：1921×2−110+1=2−310+1；
（2）解：4n−14n+1⋅2−12n+1=2−32n+1，
证明：∵左边=4n−14n+1⋅4n+22n+1−12n+1=4n−14n+1⋅4n+12n+1=4n−12n+1，
右边=4n+22n+1−32n+1=4n−12n+1，
∴左边=右边，即等式成立．
16．（2025·浙江金华·模拟预测）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1,2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）：
①x+1x；②2+x2；③x+3x+1；④y2+1y2；⑤y2+6y+1y+3
(2)将“和谐分式”a2−2a+5a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________．
(3)应用先化简2x2+1x+1−x−1x÷x2−1x2−x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④⑤
(2)a−1+4a−1
(3)x=−2，或x=4，或x=−6．
【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
（1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得；
（2）利用题目所给的方法配一个a−1出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和；
（3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为2x2−x+2x+1．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式2x−3+5x+1，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值．
【详解】（1）解：①x+1x=1+1x，属于“和谐分式”，
②2+x2不是分式，故不属于“和谐分式”，
③x+3x+1=x+1+2x+1=1+2x+1，属于“和谐分式”，
④y2+1y2=1+1y2，属于“和谐分式”，
⑤y2+6y+1y+3=y2+6y+9−8y+3=y+32−8y+3=y+3+−8y+3，属于“和谐分式”，
故答案为：①③④⑤
（2）a2−2a+5a−1=a2−2a+1+4a−1=a−12+4a−1=a−1+4a−1
（3）2x2+1x+1−x−1x÷x2−1x2−x
=2x2+1x+1−x−1x×x2−xx2−1
=2x2+1x+1−x−1x⋅xx−1x−1x+1
=2x2+1x+1−x−1x+1
=2x2+1−x+1x+1
=2x2−x+2x+1
=x+1(2x−3)+5x+1
=2x−3+5x+1
∵x为整数，5x+1为整数，
∴x+1=±1，或x+1=±5，
∵x+1≠0且x≠0且x−1≠0
∴x=−2，或x=4，或x=−6．该式的值为整数．
17．（2025·辽宁大连·模拟预测）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则a−b2≥0，即a+b−2ab≥0，
∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号，此时a+b有最小值为2ab；
【实例展示1】已知x>0，求式子x+9x最小值．
解：x+9x≥2x⋅9x=6，当且仅当x=9x，∵x>0，即x=3时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如：x−1x+1，x2x−1这样的分式就是假分式；如3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式，假分数74可以化成134带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如
x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1，x2x−1 =x2−1+1x−1=x+1x−1x−1+1x−1=x+1+1x−1．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知x>0，则当x= 时，式子x+16x取得最小值，最小值为 ；
(2)分式3x是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式x+6x+1可化为带分式形式为 ；如果分式x+6x+4的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个；
(3)用篱笆围一个面积为225m2的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知x>1，当x取何值时，分式x−1x2−2x+5取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)4，8
(2)真分式，1+5x+1，4
(3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米
(4)当x=3时，分式x−1x2−2x+5取到最大值，最大值为14
【分析】（1）根据材料1可得x+16x≥2x⋅16x=8，即可求解；
（2）根据新定义分式3x是真分式，根据题意得出2x+4为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽为225x米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解；
（4）根据材料2的方法，进行化简即可求解．
【详解】（1）解：令a=x，b=16x，则有a+b≥2ab，
得x+16x≥2x⋅16x=8，
当且仅当x=16x时，即正数x=4时，式子有最小值，最小值为8；
故答案为：4，8；
（2）解：根据新定义分式3x是真分式，
x+6x+1=x+1+5x+1=1+5x+1
∵x为整数，x+6x+4=1+2x+4的值为整数，
∴2x+4为整数，
∴x+4=2或x+4=−2或x+4=1或x+4=−1，
解得：x=−2或x=−6或x=−3或x=−5，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，1+5x+1，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为225x米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：y=2x+450x
由上述性质知：∵x>0，
∴y=2x+450x≥22x⋅450x=60
此时，x=225x，
∴x=15，
答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
（4）解：x−1x2−2x+5 =x−1x2−2x+1+4=x−1x−12+4=1x−1+4x−1
∵x>1，
∴x−1>0，
∴x−1+4x−1≥2x−1⋅4x−1=4
当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时，式子x−1+4x−1有最小值为4，
∴当x=3时，分式x−1x2−2x+5取到最大值，最大值为14．
【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
x的取值
−2
2
a
0
分式的值
无意义
0
1
b
甲同学
解：原式=xx−1x+1x−1+xx+1x−1x+1⋅x2−1x⋅⋅⋅
乙同学
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x⋅⋅⋅
x值
−2
−1
0
1
分式值
c
无意义
d
0