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专题2 整式与因式分解——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案(教师版+学生版)
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华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题2 整式与因式分解
一、单选题
1.(2022七上·黄浦期中)下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解:A.,不能用平方差公式计算,故本选项不符合题意;
B.,能用平方差公式计算,故本选项符合题意;
C.,不能用平方差公式计算,故本选项不符合题意;
D.不能用平方差公式计算,故本选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2.(2022七上·奉贤期中)多项式的次数是四次,那么m不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【知识点】多项式的项和次数
【解析】【解答】解:多项式的次数是四次,
∴m是小于或等于4的非负整数,
故答案为:D
【分析】根据多项式次数的定义求解即可。
3.(2022七上·普陀期中)如果,那么的值是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解:因为
所以
故答案为:B.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得,再利用待定系数法可得。
4.(2022七上·龙岗期末)若单项式与是同类项,则的值是( )
A.-6 B.-4 C.9 D.4
【答案】B
【知识点】同类项
【解析】【解答】解:∵单项式与是同类项,
∴,解得:,
∴;
故答案为:B.
【分析】根据同类项的定义可得,求出,再将m、n的值代入计算即可。
5.(2022七上·龙岗期末)下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解:、不是同类项,不能进行计算,故不符合题意;
、是同类项,合并同类项的运算错误,故不符合题意;
、不是同类项,不能进行计算,故不符合题意;
、是同类项,合并同类项的运算正确,故符合题意.
故答案为:.
【分析】利用合并同类项的计算方法逐项判断即可。
6.(2022七上·杨浦期中)下列多项式中,与相乘的结果是的多项式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】,
∴选项A不符合题意;
∵,
∴选项B符合题意;
∵,
∴选项C不符合题意,
∵,
∴选项D不符合题意,
故答案为:B.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法逐项判断即可。
7.(2022八上·无为月考)在多项式添加一个单项式,使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式,则下列表述正确的是( )
嘉琪:添加,;
陌陌:添加,;
嘟嘟:添加,.
A.嘉琪和陌陌的做法正确 B.嘉琪和嘟嘟的做法正确
C.陌陌和嘟嘟的做法正确 D.三位同学的做法都正确
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解:由题意,得:嘉琪和陌陌的做法正确,嘟嘟添加-1后,变成了一个单项式,错误;
故答案为:A.
【分析】利用完全平方式的特征逐个判断求解即可。
8.(2022八上·青田期中)如图,四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形,若直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b,大正方形面积为S1,小正方形面积为S2,则(a+b)2可表示为( )
A.S1﹣S2 B.2S1﹣S2 C.S1+S2 D.S1+2S2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用;勾股定理
【解析】【解答】解:如图所示:设直角三角形的斜边为c,
则S1=c2=a2+b2,
S2=(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab,
∴2ab=S1﹣S2,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=S1+S1﹣S2=2S1﹣S2,
故答案为:B.
【分析】设直角三角形的斜边为c,则S1=c2=a2+b2,S2=(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab,再由完全平方公式即可求解.
9.(2022七上·衢州期中)下列说法中,正确的是( )
A.的系数是 2 B.的次数是9次
C.的常数项是5 D. 是3次多项式
【答案】D
【知识点】单项式的次数和系数;多项式的项和次数
【解析】【解答】解:A、 的系数是,故A不符合题意;
B、 的次数是7次 ,故B不符合题意;
C、 的常数项是-5 ,故C不符合题意;
D、 是3次多项式,故D符合题意;
故答案为:D
【分析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数,可对A,B作出判断;多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数,不含字母的项是常数项,可对C,D作出判断.
10.(2022七下·奉化期末)如图,将两张长为,宽为的长方形纸片按图1,图2两种方式放置,图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②,正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示,图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件,仍不能求值的是( )
A.长方形纸片长和宽的差 B.长方形纸片的周长和面积
C.①和②的面积差 D.长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【知识点】列式表示数量关系;整式的混合运算;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图,
设矩形的两边长分别是、;阴影部分的长分别为下、;
则,即:,
,;
;
矩形的面积是,矩形的周长是;
故A、是正确的;
又因为的面积是的面积是;
;
故正确
故答案为:D.
【分析】设矩形的两边长分别是、;阴影部分的长分别为下、,根据长方形面积公式和正方形的面积公式,利用面积和差表示出S1和S2,则可表示出S1-S2,然后整理化简得出S1-S2=,再表示出 ①和②的面积差,然后逐项判断,即可解答.
二、填空题
11.(2022七上·杨浦期中)若,则 .
【答案】7
【知识点】代数式求值;多项式乘多项式
【解析】【解答】解:∵,
∴,,,
解得,
把代入得:,
∴,
∴,
∴,
故答案为:7.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得,再利用待定系数法可得,,,求出a、b、c的值,最后将a、b、c的值代入计算即可。
12.(2022八上·北京月考)若是完全平方式,则的值是 .
【答案】±1
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解:是一个完全平方式,
,
,
故答案为:±1.
【分析】根据完全平方式的特征可得,再求出的值即可。
13.(2022七上·黄浦期中)计算: .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解:原式
故答案为:
【分析】利用完全平方公式计算方法求解即可。
14.(2022七上·黄浦期中)若单项式与单项式的和仍然是一个单项式A,则A=
【答案】
【知识点】同类项;合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解:因为单项式与单项式的和仍然是一个单项式,
所以单项式与单项式是同类项,
所以,,
所以.
故答案为:.
【分析】根据同类项的定义可得,,再利用合并同类项的计算方法求解即可。
15.(2022七上·乐清期中) 如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零,且互不相同,我们称这个两位数为“英华数”,定义新运算:将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调,把这个新两位数与原两位数的和与11的商记,例如:a=13,对调个位数字与十位数字得到新两位数31,新两位数与原两位数的和,31+13=44,和与11的商44÷11=4,所以.根据以上定义,回答下列问题:
(1)计算: .
(2)若m,n都是“英华数”,且m+n=100,则 .
【答案】(1)9
(2)19
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解:(1) ,
故答案为:9;
(2)∵ m,n都是“英华数”,且m+n=100 ,设m=10x+y,则n=10(9-x)+(10-y),
∴.
故答案为:19.
【分析】(1)根据题干提供的信息直接计算即可;
(2)根据数字问题,分别表示出m、n,再根据(1)的计算方法及整式的加减法法则分别计算 与,再求和即可.
三、计算题
16.(2022八上·淮北月考)计算:
(1);
(2).
【答案】(1)解:原式
(2)解:原式
【知识点】整式的混合运算;单项式除以单项式
【解析】【分析】(1)利用单项式除以单项式的计算方法求解即可;
(2)利用整式的混合运算的计算方法求解即可。
17.(2022八上·北京月考)因式分解:
【答案】解:原式
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】先提取公因式a,再利用完全平方公式因式分解即可。
四、解答题
18.(2022八上·淮北月考)已知中不含项和x项,求a,b的值.
【答案】解:原式
;
∵中不含项和x项,
∴,
解得:;
∴.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法可得,再根据“不含项和x项”可得,求出即可。
19.(2022七上·黄浦期中)分解因式:
【答案】解:原式
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】利用平方差公式和提公因式法因式分解即可。
20.(2022七上·河北期中)已知,,求A.
【答案】解:∵,,
∴
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】将代数式代入,再利用整式的加减法计算即可。
五、综合题
21.(2022七上·普陀期中)现有7张如图1的小长方形纸片,它们的长为a,宽为.将它们按如图2、3、4的方式不重叠地摆放,构造出一个长方形,未被小长方形纸片覆盖的两块阴影部分的面积分别记作和.
(1)如图2,如果,那么 (用含a、b的代数式表示);
(2)如图3, (用含a、b的代数式表示)
(3)如图4,设,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,那么a、b必须满足什么条件?
【答案】(1)
(2)
(3)解:如图4,
左上角阴影部分的长为,宽为,右下角阴影部分的长为,宽为a,
∵,即,,
∴,即,
∴
,
则当,即时,S始终保持不变.
【知识点】列式表示数量关系;整式的混合运算
【解析】【解答】(1)解:∵,,
∴,
∴右下角阴影部分的宽为,
∵右下角阴影部分的长为,
∴,
故答案为:
(2)解:∵左上角阴影部分的长为,宽为3b,则,
右下角阴影部分是边长为的正方形,则,
∴,
故答案为:
【分析】(1)先求出右下角阴影部分的宽和长,再利用矩形的面积公式求出即可;
(2)先求出,,再列出算式求出即可;
(3)先求出,再根据“S始终保持不变”可得,再求出即可。
22.(2022七上·海曙期中)某市居民使用自来水按如下标准收费(水费按月缴纳)
居民月用水量 | 不超过的部分 | 超过但 不超过的部分 | 超过的部分 |
单价 | 2元 | 3元 | 4元 |
(1)某用户一个月用了水,求该用户这个月应缴纳的水费;
(2)设某户月用水量为立方米,当时,求该用户应缴纳的水费(用含的代数式表示);
(3)甲、乙两用户一个月共用水已知甲用户缴纳的水费超过了20元,设甲用户用水,则甲、乙两用户一个月共缴纳水费多少元?(用含的代数式表示)
【答案】(1)解:(元),
该用户这个月应缴纳的水费38元;
(2)解:,
该用户应缴纳的水费为:
元;
(3)解:甲用户缴纳的水费超过了20元,
甲用户的用水量大于,
分情况讨论:
当时,则时,
此时共缴纳的水费为:元,
当,时,
此时共缴纳的水费为:元,
当,时,
此时共缴纳的水费为:元,
综上所述,甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为:元或元或元.
【知识点】列式表示数量关系;整式的加减运算
【解析】【分析】(1)根据单价乘以数量=总价及前10m3水的费用+超过10m3但不超过20m3的费用列式计算即可;
(2)根据单价乘以数量=总价及前10m3水的费用+超过10m3但不超过20m3部分水的费用+超过20m3部分的水费的费用列式化简即可;
(3)首先判断甲用户的用水量大于10m3,然后分类通论:① 当10<x≤20时,则40-x≥20时, ② 当x>20,10<(40-x)<20时 ,③ 当x>20,0<(40-x)≤10时 三种情况,根据(2)的计算方法分别列出式子,再去括号合并化简即可.