专题03 分式（分层训练）-2026年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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一、单选题
1．计算a2a−b−b2a−b的结果是（ ）
A．a−bB．a+bC．a+ba−bD．1
2．下列等式成立的是（ ）
A．|﹣2|=2B．（2﹣1）0=0C．（﹣12）﹣1=2D．﹣（﹣2）=﹣2
3．下列各式中，变形不正确的是（ ）
A．2−3x=−23xB．−a−4b=a4bC．−5n2m=−5n−2mD．3x−4y=−3x4y
4．在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m1克，铜丝重m2克，铁丝、铜丝的截面半径分别为r1cm和r2 cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是( )
A．铁丝为 m17.8πr12cm 铜丝为m28.9πr22cm
B．铁丝为 m1r12cm 铜丝为m2πr22cm
C．铁丝为 m1r12cm 铜丝为 m2r22cm
D．铁丝为 m1r1 cm 铜丝为 m2r2 cm
5．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则xy−y2的值为（ ）
A．0B．12C．1D．32
6．在：4,−20,(−3)−1,|−5|中，结果为正数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．要使分式x−2x+1有意义，则应满足（ ）
A．x≠−1B．x≠2C．x≠±1D．x≠−1或x≠2
8．某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，0.000000823用科学记数法表示，结果为（ ）
A．82.3×10−6B．8.23×10−7C．8.23×10−6D．0.823×107
9．若a，b为两个有理数，且b＝a2−1+1−a2a+1+4，则a＋b的值为（ ）
A．±6B．3C．3或5D．5
10．(−12)−1的值是（ ）
A．−12B．2C．-2D．12
11．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数5−12称为黄金分割数．设a=5−12,b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，S3=11+a3+11+b3⋯，S100=11+a100+11+b100，则S1+S2+S3+⋯+S100的值为（ ）
A．1005B．2002C．100D．505
12．如果分式x−2x2−2x=0则x为（ ）
A．2B．-2C．±2D．0
13．若式子m+3m−22有意义，则实数的m的取值范围是（ ）
A．m≥−3且m≠2B．m>−3且m≠2C．m≥−2D．m>−3
14．下列各数中是负数的是（ ）
A．0B．−32C．﹣（﹣3）D．(−3)2
15．把分式x-yx+y中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍
B．不变
C．缩小到原来15
D．扩大到原来的25倍
二、填空题
16．若代数式x−12−x>0，则x的取值范围是 ．
17．计算：(−2)2−27+(2−1)0= ．
18．已知3−x+x−3−1=y，则xy= ．
19．当 ，代数式3−xx+2有意义．
20．如图，长方形ABCD按如图所示分成9个部分，在m，n(m≥n)变化过程中，下列四个结论：①图中总共有8个正方形；②若长方形ABCD的长与宽的比为mn，则m=n；③长方形ABCD的长与宽的比可能为2；④若m=6n，长方形ABCD的面积为2n2+48，则m，n的值分别为3，2．其中正确的结论是 （填写序号）．
21．若x2﹣xy﹣12y2＝0，则2x+y3x−y＝ ．
22．写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是 ．
23．计算：(m+2+52−m)⋅2m−43−m= .
24．分式x−2x+3x2−4的值为0，则x= ．
25．某单位锅炉房运来了120吨煤，原计划用x天，后来节约用煤，结果比原计划多用4天，后来比原计划每天少用 吨煤.
三、解答题
26．先化简，再求值：(x+2+3x−2)÷1+2x+x22−x，其中x=3−1．
27．先化简，再求值：1x−1−2x2−1，其中x＝－2
28．先化简，再求值：a2−b2a÷a+2ab+b2a，其中a=2+1,b=2−1．
29．先化简，再求值：2a2−4(a2+44a−1)÷(12−1a)，其中a=12．
30．先化简，再求值：2a−4aa−2÷a−4a2−4a+4，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数．
31．观察以下等式:
第1个等式:21=11+11，
第2个等式:23=12+16，
第3个等式:25=13+115，
第4个等式:27=14+128，
第5个等式:29=15+145，
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
32．（1）化简 1−a−ba+2b÷a2−b2a2+4ab+4b2
（2）解方程 2−xx−3−13−x=3
（3）分解因式 −8ax2+16axy−8ay2
33．计算：
(1)x−y2−xy−2x
(2)(3x+1−x+1)÷x2+4x+4x+1.
34．先化简，再求值：1﹣a+ba−b÷a2+2ab+b2a2−ab，其中a＝1＋3，b＝1﹣3．
35．x2−2xy+y2x2−y2÷x2−xyx−2x+y，其中实数x、y满足y=x−2−4−2x−1．
【能力提升】
36．阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于a−b2≥0，所以a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，并且当a=b时，a2+b2=2ab；对于两个非负实数a，b，由于a−b2≥0,所以a2−2ab+b2≥0，即a−2ab+b≥0，所以a+b≥2ab，并且当a=b时，a+b=2ab；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1；
(1)在①2x+3x+1、②x2+1x、③xx2+1、④x4+1x2这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
(2)已知：xx2+1=13，求代数式x2x4+1的值；
(3)当x为何值时，x+3x+2+5x+2+1有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
37．（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x−y>0，则x>y；若x−y=0，则x=y；若x−y0，故M>N．
【新知理解】
（1）比较大小：2x−2______x2．（填“>”，“=”，“0)，其面积分别为S1，S2，请比较S1，S2的大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？
38．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x−1,x+1x2．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+1x−1,x2+1x+1．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1．
解决问题：
（1）下列分式中属于真分式的是（ ）
A．x2x−1 B．x−1x+1 C．−32x−1 D．x2+1x2−1
（2）将假分式3x+1x−1、x2+1x+1分别化为带分式；
（3）若假分式2x2+3x−6x+3的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值．
39．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
40．如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m′．并规定Fm=m+m′9，例如918，∵9=1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F918=918+8199=193．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F936；
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2Fs+Ft=570，并规定K=FsFt，求K的最大值为多少？