专题03 分式【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

这是一份专题03 分式【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版），文件包含专题03分式九大考点+知识串讲-全国通用原卷版docx、专题03分式九大考点+知识串讲-全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

模块二
知识点一遍过
（一）分式的基本概念
（1）分式：形如eq \f(A,B)（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．
（2）与分式有关的结论
①分式eq \f(A,B)无意义的条件是B＝0．
②分式eq \f(A,B)有意义的条件是B≠0．
③分式eq \f(A,B)值为0的条件是A＝0且B≠0．
（二）分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
eq \f(A,B)＝eq \f(A·M,B·M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)（其中M是不等于零的整式）．
（2）由基本性质可推理出变号法则为：； .
（三）约分与通分
（1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
（2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（四）分式的运算
分式的乘除
①乘法法则：
②除法法则：
③分式的乘方：
分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
0指数幂：
（五）分式化简求值
（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
模块三
考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：下列各式中x5，x+y15，−2m2，2xyx+y2，−511，a−2，分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断、负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的定义，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，根据定义逐个分析，即可求解．
【详解】解：在x5，x+y15，−2m2，2xyx+y2，−511，a−2=1a2中，−2m2，2xyx+y2，a−2是分式，共3个
故选：B．
【变式1】在代数式32a，a+b2，x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的定义．注意π是数字，不是字母．直接根据分式的定义判断．分母中含有字母的是分式．
【详解】解：在代数式32a，a+b2，x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有32a，−x+14−x，x2yx这3个，
故选：B．
【变式2】下列各式中：3x−4，x2−1，b−5a+1，xy+z6，0，x2−2xy+y22x+1，7a+c，其中分式共有 个．
【答案】3
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如AB，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【详解】解：3x−4，x2−1，b−5a+1，xy+z6，0，x2−2xy+y22x+1，7a+c中，分式有b−5a+1，x2−2xy+y22x+1，7a+c共3个；
故答案为：3．
【变式3】观察下列分式：2x,−5x2,10x3,−17x4,26x5⋯,按此规律第10个分式是 ．
【答案】−101x10
【知识点】分式的规律性问题
【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律−1n+1n2+1xn，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
第1个分式：2x=−1212+1x，
第2个分式：−5x2=−1322+1x2，
第3个分式：10x3=−1432+1x3，
第4个分式：−17x4=−1542+1x4，
第5个分式：26x5=−1652+1x5，
……
第n个分式：−1n+1n2+1xn，
∴第10个分式为−111102+1x10=−101x10，
故答案为：−101x10．
考点2：分式有意义条件
典例2：x满足什么条件（ ），x−53x+5有意义
A．x≠5B．x≠−53
C．x≠−53且x≠−5D．x≠−53或x≠−5
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，
根据分式有意义的条件，即分母不等于0，可得3x+5≠0，求出解即可．
【详解】因为x−53x+5有意义，
所以3x+5≠0，
解得x≠−53．
故选：B．
【变式1】函数y=2x−5+1x−3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠52B．x>52且x≠3C．x≥52D．x≥52且x≠3
【答案】D
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可．
【详解】解：由题可得：2x−5≥0，x−3≠0，
解得：x≥52且x≠3，
故选：D．
【变式2】（1）当x 时，等式−4x0+1=−2成立；
（2）当x 时，等式(x+5)−2=1成立．
【答案】 ≠0 =−4或−6
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分式有意义的条件、解分式方程
【分析】该题主要考查了零次幂、负整数指数幂，分式方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据非零实数的零次幂为1解答即可．
（2）根据负整数指数幂得出1(x+5)2=1求解即可．
【详解】解：∵当x≠0时，x0=1，
∴−4x0+1=−41+1=−2，
即等式−4x0+1=−2成立，
故答案为：≠0．
（2）∵(x+5)−2=1(x+5)2=1，
∴(x+5)2=1，x+5≠0，
解得：x=−4或−6，
经检验，x=−4或−6是方程的解．
故答案为：=−4或−6．
【变式3】已知分式x+n2x−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则ab的值为 ．
【答案】20
【知识点】分式值为零的条件、解分式方程、分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m的值；根据当x=4时，分式的值为0，可求出n的值，进而得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵当x=−4时分式无意义，
∴2×−4−m=0，
∴m=−8；
∵当x=4时，分式的值为0，
∴4+n=0，
∴n=−4；
∴分式为x−42x+8，
∴根据表格可知：a−42a+8=0.1，b=16−42×16+8=310，
解得：a=6，
经检验：a=6是原分式方程的解，
∴ab=6310=20，
故答案为：20．
考点3：分式的值
典例3：下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x=2时，x+1x−2的值为0；
B．当x≠3时，x−3x有意义；
C．无论x为何值，3x+1的值不可能是正整数
D．无论x为何值，1x2+1总有意义
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可．
【详解】解：A、当x=2时，分式无意义，故判断错误；
B、当x≠0时，x−3x有意义，故判断错误；
C、当x=0时，3x+1的值是正整数3，故判断错误；
D、由于x2+1>0，则无论x为何值，1x2+1总有意义，故判断正确；
故选：D．
【变式1】a，b，c均为正数且a+b+c=5，已知ca+b+ab+c+ba+c=2，求1a+b+1b+c+1a+c（ ）
A．1B．65C．3D．2
【答案】A
【知识点】分式的求值
【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出ca+b+1+ab+c+1+ba+c+1=5，即可得得到a+b+ca+b+a+b+cb+c+a+b+ca+c=5，再由a+b+c=5即可得到答案．
【详解】解：∵ca+b+ab+c+ba+c=2，
∴ca+b+1+ab+c+1+ba+c+1=2+3=5，
∴a+b+ca+b+a+b+cb+c+a+b+ca+c=5
∴a+b+c1a+b+1b+c+1a+c=5，
∵a+b+c=5，
∴1a+b+1b+c+1a+c=1，
故选：A．
【变式2】已知aba+b=2，bcb+c=3，aca+c=1，则abcab+bc+ac= ．
【答案】1211/1111
【知识点】分式的求值、通分
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解．
【详解】解：因为aba+b=2，bcb+c=3，aca+c=1，
所以a+bab=12①，b+cbc=13②，a+cac=1③，
①+②+③得a+bab+b+cbc+a+cac=12+13+1，
通分可得2ab+bc+acabc=116，
所以ab+bc+acabc=1112，
所以abcab+bc+ac=1211．
故答案为：1211．
【变式3】已知4x2+y2+4x−6y+10=0，则2x−2yx+y的值为 ．
【答案】−145
【知识点】完全平方公式分解因式、分式的求值
【分析】本题考查了完全平方公式，求分式的值；先利用完全平方公式进行化简，得到(x+2)2+(y−3)2=0，然后利用非负性求出x、y的值，即可求出答案.
【详解】解：∵4x2+y2+4x−6y+10=0，
∴(2x+1)2+(y−3)2=0，
∴2x+1=0，y−3=0，
∴x=−12，y=3；
∴2x−2yx+y=2×−12−2×3−12+3=−752=−145；
故答案为：−145.
考点4：分式的基本性质
典例4：下列式子从左到右变形，正确的是（ ）
A．y+1y−1=y+12y−1y+1B．x+2y+2=xy
C．4x22xy=2xyD．xy=x2y2
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、当y≠−1时，y+1y−1=y+12y−1y+1，故本选项不符合题意；
B、x+2y+2≠xy，故本选项不符合题意；
C、4x22xy=2xy，故本选项不符合题意；
D、xy≠x2y2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】若分式3aba+b中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．是原来的20倍B．是原来的10倍
C．是原来的0.1倍D．不变
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式基本性质．依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分式3aba+b中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得3×10a×10b10a+10b=10×3aba+b，
即分式的值是原来的10倍，故B正确．
故选：B．
【变式2】不改变分式的值，将分式0.02x+0.5yx+0.004y中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ．
【答案】5x+125y250x+y
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．把分子、分母都乘以1000即可求解．
【详解】解：0.02x+0.5yx+0.004y=0.02x+0.5y×1000x+0.004y×1000=20x+500y1000x+4y=5x+125y250x+y．
故答案为：5x+125y250x+y．
【变式3】在括号里填上适当的整式：
（1）3c2ab=15ac ； ．
（2）3xyx2−2x= x−2； ．
（3）3aba+b=6a2b ． ．
【答案】 10a2b 3y 2aa+b
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解．
【详解】解：（1）3c2ab=3c⋅5a2ab⋅5a=15ac10a2b；
故答案为：10a2b；
（2）3xyx2−2x=3xyxx−2=3yx−2；
故答案为：3y；
（3）3aba+b=3ab⋅2aa+b⋅2a=6a2b2aa+b．
故答案为：2aa+b．
考点5：约分与最简分式
典例5：下列约分正确的是（ ）
A．x6x2=x3B．x+yx+y=0C．x+yx2+xy=1xD．2xy24x2y=12
【答案】C
【知识点】约分
【分析】本题考查了约分，根据分式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握分式的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、x6x2=x4，故约分错误，不符合题意；
B、x+yx+y=1，故约分错误，不符合题意；
C、x+yx2+xy=x+yxx+y=1x，故约分正确，符合题意；
D、2xy24x2y=2xy⋅y2xy⋅2x=y2x，故约分错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】下列分式中是最简分式的是（ ）
A．x2+xy5x+xyB．x2−4x+2C．5x2+1D．x2+6x+9x2−9
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念求解即可．
【详解】A．x2+xy5x+xy=xx+yx5+y=x+y5+y，不符合题意；
B．x2−4x+2=x−2x+2x+2=x−2，不符合题意；
C． 5x2+1是最简分式，符合题意；
D．x2+6x+9x2−9=x+32x+3x−3=x+3x−3，不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列4个分式中：①a−3a2+3；②x−yx2−y2；③m2m2n；④2m+1，最简分式有 个．
【答案】2
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解：①a−3a2+3是最简分式，符合题意；
②x−yx2−y2=x−yx+yx−y=1x+y，不是最简分式，不合题意；
③m2m2n=12mn，不是最简分式，不合题意；
④2m+1是最简分式，符合题意；
∴最简分式有2个，
故答案为：2．
【变式3】化简：18xy27x2y2= ，x2−4x2+5x+6=
【答案】 23xy/23yx x−2x+3
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：18xy27x2y2=23xy，
x2−4x2+5x+6=x+2x−2x+2x+3=x−2x+3，
故答案为：23xy，x−2x+3．
考点6：通分与最简公分母
典例6：把a−1a2+2a+1与11−a2通分后，a−1a2+2a+1的分母为1−aa+12，则11−a2的分子变为（）
A．1−a B．1＋a C．−1−a D．−1+a
【答案】B
【知识点】通分
【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．
【详解】解∶11−a2=1(1−a)(1+a)=1+a(1−a)(1+a)2，
故11−a2的分子为1+a．
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
A．23ab与12a2的最简公分母是5a2b
B．1a+b2与1a2+b的最简公分母是(a+b)2
C．a+1a−ba+b与b+1b−ab+a的最简公分母是a−ba+b
D．1x2−2x+1与1x2−1的最简公分母是x2−2x+1⋅x2−1
【答案】C
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了分式的最简公分母，属于简单题，熟悉概念是解题关键．
根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数，相同字母取最高次幂，并且包含所有字母都要出现，熟悉概念即可解题．
【详解】A．23ab与12a2的最简公分母是6a2b，选项错误；
B．1a+b2与1a2+b的最简公分母是a+b2a2+b，选项错误；
C．a+1a−ba+b与b+1b−ab+a的最简公分母是a−ba+b，选项正确；
D．1x2−2x+1与1x2−1的最简公分母是x−12x+1，选项错误．
故选：C．
【变式2】分式32x−2，1x2+x，xx2−1的最简公分母是 ．
【答案】2xx+1x−1
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了求最简公分母．根据最简公分母就是各分母所有因式的最高次幂的积，进行作答即可．
【详解】解：因为32x−2=32x−1，1x2+x=1xx+1，xx2−1=xx+1x−1，
所以它们的最简公分母是2xx+1x−1，
故答案为：2xx+1x−1．
【变式3】对于任意的x值都有2x+7x2+x−2=Mx+2+Nx−1，则M，N值为 ．
【答案】−1,3
【知识点】通分、异分母分式加减法、加减消元法
【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多形式相等的条件等知识，由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：∵ Mx+2+Nx−1
=Mx−1x+2x−1+Nx+2x+2x−1
=Mx−1+Nx+2x+2x−1
=Mx−M+Nx+2Nx+2x−1
=M+Nx+2N−Mx2+x−2
=2x+7x2+x−2，
∴M+N=22N−M=7，解得M=−1N=3，
故答案为：−1,3．
考点7：分式的运算——加减乘除
典例7：计算：
(1)a2+2a+12a+6÷a2−13a+a2；
(2)3x−3−6xx2−9；
(3)a−4a+2−a+2÷a−1a2−4．
【答案】(1)a2+a2a−2
(2)−3x+3
(3)−a2+2a
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、分式除法
【分析】本题主要考查分式的除法，分式的减法以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式中分子与分母各自因式分解，再将除法转换为乘法后进行约分计算即可；
（2）将原式中的分母通分后，根据同分母分式加减法法则进行计算即可；
（3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，进行约分计算即可．
【详解】（1）解：a2+2a+12a+6÷a2−13a+a2
=a+122a+3⋅aa+3a+1a−1
=aa+12a−1
=a2+a2a−2；
（2）解：3x−3−6xx2−9
=3x−3−6xx+3x−3
=3x+3x+3x−3−6xx+3x−3
=3x+3−6xx+3x−3
=9−3xx+3x−3
=33−xx+3x−3
=−3x+3；
（3）解：a−4a+2−a+2÷a−1a2−4
=a−4−a−2a+2a+2÷a−1a2−4
=a−4−a2+4a+2÷a−1a+2a−2
=−aa−1a+2⋅a+2a−2a−1
=−a2+2a．
【变式1】计算下列各题
(1)2x−6x2−4x+4⋅x2−4x−3
(2)3x−1−2x1−x2−1x+1
(3)a2−3a2a2+2a+a−3a2+2a+1−2a+4a+2
(4)5x−2−x−2+x−33x2−6x
【答案】(1)2x+4x−2
(2)4x−1
(3)−3a2−8a−132(a+1)2
(4)−3x3+28x−33x2−6x
【知识点】分式乘法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解；
（2）先通分再进行分式的加减运算即可求解；
（3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解；
（4）先将分式通分再进行加减计算即可求解．
【详解】（1）解：2x−6x2−4x+4⋅x2−4x−3
=2(x−3)(x−2)2·(x+2)(x−2)x−3
=2x+4x−2；
（2）解：3x−1−2x1−x2−1x+1
=3x+3+2x−(x−1)x2−1
=4(x+1)(x+1)(x−1)
=4x−1；
（3）解：a2−3a2a2+2a+a−3a2+2a+1−2a+4a+2
=a(a−3)2a(a+1)+a−3(a+1)2−2(a+2)a+2
=a−32(a+1)+a−3(a+1)2−2
=(a−3)(a+1)+2(a−3)−4(a+1)22(a+1)2
=−3a2−8a−132(a+1)2；
（4）解：5x−2−x−2+x−33x2−6x
=9−x2x−2+x−33x(x−2)
=27x−3x3+x−33x(x−2)
=−3x3+28x−33x2−6x．
【变式2】计算：
(1)x2x−y+y2y−x；
(2)x2−5x−2−xx−2−1+x2−x；
(3)2a+2a−1÷a+1−a2−1a2−2a+1．
【答案】(1)x+y
(2)x+2
(3)−1
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式加减混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式=x2x−y−y2x−y=x2−y2x−y
=x−yx+yx−y
=x+y；
（2）解：原式=x2−5−x+1+xx−2
=x+2x−2x−2
=x+2；
（3）解：原式=2a+1a−1⋅1a+1−a+1a−1a−12
=2a−1−a+1a−1
=2−a−1a−1
=−a−1a−1
=−1．
【变式3】计算：
(1)a+bab−a−bab
(2)5a−2−a−2÷3−a4−2a
(3)1−1x2÷x−1x
(4)3x+2x−1+51−x1−x2
【答案】(1)2a
(2)−2a−6
(3)x+1x
(4)3
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解；
（2）先计算括号里面的异分母分式减法，再计算分式的除法即可；
（3）利用分式的除法法则先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则约分计算即可得解；
（4）先化简，然后根据同分母分式的加法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：a+bab−a−bab
=a+b−a+bab
=2bab
=2a；
（2）解：5a−2−a−2÷3−a4−2a
=5a−2−a+2a−2a−2÷3−a4−2a
=5−a2+4a−2×22−a3−a
=3+a3−aa−2×22−a3−a
=−23+a
=−2a−6；
（3）解：1−1x2÷x−1x
=x2−1x2×xx−1
=x+1x−1x2×xx−1
=x+1x；
（4）解：3x+2x−1+51−x1−x2
=3x+2x−1+51−x
=3x+2x−1−5x−1
=3x−1x−1
=3．
【变式4】计算
(1)−m2n3x⋅−6xy5mn2；
(2)x−2x+3⋅x2−9x2−4x+4；
(3)b2a+b÷aa2−b2⋅a2a−b；
(4)2xx−2−3x−2x−2；
(5)2x−2−8x2−4；
(6)x2x−1−x+1÷4x2−4x+11−x
【答案】(1)2my5n
(2)x−3x−2
(3)ab2
(4)−1
(5)2x+2
(6)−12x−1
【知识点】分式乘除混合运算、分式加减乘除混合运算、分式乘法、异分母分式加减法
【分析】（1）根据分式的乘法运算法则解答即可；
（2）根据分式的乘法运算法则解答即可；
（3）根据分式的乘法，除法混合运算法则解答即可；
（4）根据同分母分式的减法计算即可；
（5）根据异分母分式的减法计算即可；
（6）根据得加减乘除混合预算解答即可
【详解】（1）解：−m2n3x·−6xy5mn2
=m1×2y5n
=2my5n．
（2）解：x−2x+3·x2−9x2−4x+4
=x−2x+3·x+3x−3x−22
=x−3x−2．
（3）解：b2a+b÷aa2−b2·a2a−b
=b2a+b·a+ba−ba·a2a−b
=ab2．
（4）解：2xx−2−3x−2x−2
=2x−3x−2x−2
=2x−3x+2x−2
=−1．
（5）解：2x−2−8x2−4
=2x−2−8x+2x−2
=2x+4−8x+2x−2
=2x−2x+2x−2
=2x+2．
（6）解：x2x−1−x+1÷4x2−4x+11−x
=x2−x2+x+x−1x−1÷2x−121−x
=2x−1x−1×1−x2x−12
=−12x−1．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的乘除法运算，分式的加减，乘除混合运算，约分，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式5】化简：
(1)a+2a2÷1+2a；
(2)a−1+a+3a+2÷a2−1a+2．
【答案】(1)1a；
(2)a+1a−1．
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：
（1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：原式=a+2a2÷a+2a
=a+2a2⋅aa+2
=1a∙
（2）解：原式=a2−a+2a−2+a+3a+2÷a2−1a+2
=a2+2a+1a+2⋅a+2a+1a−1
=a+12a+2⋅a+2a+1a−1
=a+1a−1．
【变式6】计算：
(1)xy−x2⋅xyx2−2xy+y2÷x2x−y；
(2)1−x−11−x2÷x2−x+1x2−2x+1．
【答案】(1)−y
(2)−x2+x
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得；
（2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得．
【详解】（1）解：原式=xy−x⋅xyx−y2⋅x−yx2
=−xx−y⋅xyx−y2⋅x−yx2
=−y．
（2）解：原式=1−x1−x1−x−11−x2÷x2−x+1x−12
=1−x−x2−11−x2⋅x−12x2−x+1
=1−x2−x+1x−12⋅x−12x2−x+1
=1−x2−x+12x−12⋅x−12x2−x+1
=1−x2−x+1
=1−x2+x−1
=−x2+x．
【变式7】计算：
(1)−cd32a2b−3÷2ad6⋅cd2a2
(2)2x−1÷2x2−1+1x+1
(3)a2−6ab+9b2a2−2ab÷a+2b+5b22b−a+1a
(4)a+ba−b2⋅a−ba+b−a2a2−b2÷a4b
【答案】(1)−a3b3cd
(2)2
(3)2a+3b
(4)a−ba+b
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算：
（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（4）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果．
【详解】（1）解：−cd32a2b−3÷2ad6⋅cd2a2
=−8a6b3c3d9⋅d62a⋅c2d24a2
=−a3b3cd；
（2）解：2x−1÷2x2−1+1x+1
=2x−1÷2+x−1x+1x−1
=2x−1⋅x+1x−1x+1
=2；
（3）解：a2−6ab+9b2a2−2ab÷a+2b+5b22b−a+1a
=a−3b2aa−2b÷a2−4b2−5b2a−2b+1a
=a−3b2aa−2b⋅a−2ba+3ba−3b+1a
=a−3baa+3b+1a
=a−3b+a+3baa+3b
=2aaa+3b
=2a+3b；
（4）解：a+ba−b2⋅a−ba+b−a2a2−b2÷a4b
=(a+b)2(a−b)2⋅a−ba+b−a2(a+b)(a−b)⋅4ba
=a+ba−b−4ab(a+b)(a−b)
=(a+b)2−4ab(a+b)(a−b)
=(a−b)2(a+b)(a−b)
=a−ba+b．
【变式8】计算
(1)a−2a+3÷a2−4a2+6a+9
(2)a2−1a2+2a+1÷a2−aa+1
(3)a−1a÷a2−1a2+2a
(4)xy−x2÷x2−2xy+y2xy⋅x−yx2．
【答案】(1)a+3a+2
(2)1a
(3)a+2a+1
(4)−y
【知识点】分式除法、分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把除法转化为乘法，把分子、分母约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
【详解】（1）解：原式=a−2a+3⋅a+32a+2a−2=a+3a+2；
（2）解：原式=a+1a−1a+12⋅a+1aa−1=1a；
（3）解：原式=a−1a·aa+2a+1a−1=a+2a+1；
（4）解：原式=xy−x·xyx−y2⋅x−yx2=−y．
【变式9】计算
(1)4ac3b ⋅ 9b22ac3
(2)a2−48a2b ⋅ 12ab3a−6
(3)a−4⋅16−a2a2−8a+16
(4)2m+4m2−4m+4 ⋅m2−4 ⋅ 2m−4m4−16．
【答案】(1)6bc2
(2)a+22a
(3)−4−a
(4)4m+2m−2m2+4
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约分的进行约分即可．
（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=6bc2；
（2）解：原式=a+2a−28a2b⋅12ab3(a−2)
＝a+22a；
（3）解：原式=a−4⋅−a+4a−4a−42
=−4−a；
（4）解：原式=2m+2m−22 ⋅m+2m−2⋅ 2m−2m2+4m2−4
=2m+22m−2⋅ 2m−2m2+4m+2m−2
=4m+2m−2m2+4．
【变式10】计算：
(1)x−23−x·x2−6x+9x2−4
(2)3x−6x2−4÷x+2x2+4x+4
(3)x2−2x+1x2−1÷x−1x2+x
(4)a2−1a2+2a+1÷a2−aa+1÷a2a+1．
【答案】(1)−x−3x+2
(2)3
(3)x
(4)a+1a3
【知识点】分式乘法、分式除法
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把分子、分母约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
【详解】（1）解：原式=x−23−x·x−32x−2x+2=−x−3x+2；
（2）解：原式=3x−2x−2x+2·x+22x+2=3；
（3）解：原式=x−12x−1x+1·xx+1x−1=x；
（4）解：原式＝a−1a+1a+12⋅a+1aa−1⋅a+1a2=a+1a3．
考点8：分式的运算——0/负指数幂
典例8：下列计算正确的是（ ）
A．a−1÷a−3=a2B．130=0
C．12−2=14D．a3+a3=a6
【答案】A
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、合并同类项、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，同底数幂的除法，同类项合并；掌握这些知识是关键；分别按照同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，同类项合并的知识进行分析判断即可；
【详解】解：A、a−1÷a−3=a−1−(−3)=a2，故计算正确；
B、130=1，故计算错误，不符合题意；
C、12−2=22=4，故计算错误，不符合题意；
D、a3+a3=2a3，故计算错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1】若a=−0.32，b=−32，c=−13−2，d=130，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．a