黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题含答案

这是一份黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了 答题前，考生务必用直径 0，本卷命题范围， 若 a>b,c>d ,则， 已知函数 fx 满足等内容，欢迎下载使用。
1.满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围: 人教 A 版必修第一册.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角 α=−1670∘ ,则角 α 为( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知集合 A={−2,0,2,3,5},B=x x−3x≥0 ，则 A∩B= ()
A. {5} B. {−2,5} C. {−2,3,5} D. {−2,0,3,5}
3. 若函数 fx=tanωx+φω>0 图象的相邻两个对称中心的距离为 π8 ，则 ω= ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 已知 sin5π12−α2=−25 ，则 cs27π12+α2+cs13π12+α2= ( )
A. −1125 B. −3125 C. 1125 D. 3125
5. 已知 α,β∈R ,则 “ α≠β ” 是 “ sinα≠sinβ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司 2025 年全年投入科研经费 1700 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 13%，则该公司全年投入的
科研经费开始超过 2500 万元的年份是 ( )
(参考数据: lg1.13≈0.05,lg1.7≈0.23,lg2≈0.30 )
A. 2027 年 B. 2028 年 C. 2029 年 D. 2030 年
7. 函数 fx=1−sinx+1+sinx 的值域为( )
A. 12,2 B. 22,2 C. 1,2 D. 2,2
8. 若 a⋅2a=b3lg3b=c3lg5c=1 ,则( )
A. a0 ，且 m+n=1 ，则 2mm2+n+nm+n2 的最大值为_____.
14. 已知函数 fx=cssinωx−1ω>0 在区间 −π6,π4 上恰有两个零点，则 ω 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. ( 1 )已知 tanα−3π=3 ，求 sin7π+α−2cs6π−αsin4π−α+3cs5π+α 的值；
(2)若 α 是第一象限角，且 sinα=513 ，求 1−tanα21+tanα2 的值.
16. 已知函数 fx=3sinxcsx+csπ4+xcsπ4−x .
(1)求 fx 的最小正周期及单调递减区间；
( 2 )若 fα2+π12=55 ，且 00,a≠1 ,函数 gx=9x−6⋅3x−93x .
(1)求 fx 的定义域；
(2)判断 gx 在 −∞,+∞ 上的单调性,并用定义证明;
(3)若 ∀x1∈1,2 ， ∃x2∈1,2 ，使得 fx1≤gx2 成立，求 a 的取值范围.
19. 已知函数 fx 的定义域为 R ,且 fx−sinx 是偶函数， fx+csx 是奇函数.
(1)求 fx 的解析式；
(2)已知函数 gx=fx+32lnx .
(i) 证明: 函数 gx 有且只有一个零点;
(ii) 记函数 gx 的零点为 x0 ,证明: 3lnx0−sin2x0+320 图象的相邻两个对称中心的距离为 π8 ,所以 fx 的最小正周期 T=2×π8=π4 ,又 T=πω=π4 ,所以 ω=4 . 故选 C.
4. D
因为 sin5π12−α2=−25 ,所以 cs25π12−α2=1−sin25π12−α2=2125 ,所以 cs27π12+α2+cs13π12+α2=cs2π−5π12−α2−csπ12+α2=cs25π12−α2−sinπ2−π12+α2 =cs25π12−α2−sin5π12−α2=2125+25=3125 . 故选 D.
5. B
若 α=π6,β=5π6 ,此时 α≠β ,但是 sinα=sinβ ,故 “ α≠β ” 不是 “ sinα≠sinβ ” 的充分条件; 若 sinα≠sinβ ,则 α≠β ,故 “ α≠β ” 是 “ sinα≠sinβ ” 的必要条件. 综上, " α≠β " 是 " sinα≠sinβ "的必要不充分条件. 故选 B.
6. C
取 2026 年是第 1 年,根据题意得第 n 年该公司全年投入的科研经费为
1700×1+13%n ,令 1700×1+13%n>2500 ,即 1.13n>2517 ,即 1.13n>2.51.7 ,两边取对数可得: lg1.13n>lg2.51.7 ,即 nlg1.13>lg2.5−lg1.7 ,则 n>1−2lg2−≈1−2×0.30− ,则第 4 年,即 2029 年该公司全年投入的科研经费开始超过 2500 万元.故选 C.
7. D
因为 1−sinx≥0,1+sinx≥0 ,所以 fx≥0 ,所以
fx2=1−sinx+1+sinx2=2+21−sinx1+sinx=2+21−sin2x=2+2csx ,又 0≤csx≤1 ,所以 2≤fx2≤4 ,所以 2≤fx≤2 ,即函数 fx 的值域为 2,2 . 故选 D.
8. A
因为 a⋅2a=1 ,而当 a≥1 时, a⋅2a>1 ,当 a≤0 时, a⋅2a≤0 ,所以 00 图象交点的横坐标,在同一个平面直角坐标系作出 y=lg3x,y=lg5x 和 y=1x3x>0 的图象,如图所示,

由图可得 c>b>1 . 综上， a0 ,即 a3>b3 ,故 B 正确；当 a=1,b=0,c=−1,d=−2 满足 a>b,c>d ,但是 acd ,所以 −d>−c ,而 a>b ,所以 a−d>b−c ,故 D 正确. 故选 BD.
10. BC
在 fx+1fx=2 中,令 x=0 ,得 f1f0=2 ,又当 x∈0,1 时, fx=2x+a , 所以 f0=2a,f1=21+a ,所以 f0f1=2a⋅21+a=22a+1=2 ,解得 a=0 ,故 A 错误; 由 fx+1fx=2 ,得 fx≠0,fx+2fx+1=2 ,所以 fx+2=fx ,所以 fx 是周期为 2 的周期函数,故 B 正确; 当 x∈[−1,0) 时, fx=2fx+1=22x+1=2−x ,又 f0=1 , 显然当 x∈−1,1 时，函数 fx 为偶函数，又因为函数 fx 的周期为 2，所以函数 fx 是实数集上的偶函数,故 C 正确; 函数 y=fx,y=lg3x 的图象如下图所示:

由图可知函数 y=fx 的图象与 y=lg3x 的图象有 6 个交点,故关于 x 的方程 fx=lg3x 恰有 6 个解, 故 D 错误.故选 BC.
11. ABD
因为 f−x+fx=−x3+−x+2+x3+x+2=4 ,所以 fx 的图象是中心对称图形,故 A 正确; gx=fxx=x2+2x+1=x2−2x+2x+1x+1=x−12+2x+1x ,又 y=x−12, y=x+1x 均在 1,+∞ 上单调递增,所以 gx 在 1,+∞ 上单调递增,故 B 正确; 易得 fx 在 R 上单调递增,又当 x∈−π2,π2 时, cs2x0 ,所以 m+n=2mn>2mn ,所以 mn0 在区间 −π6,π4 上恰有两个零点,则 cssinωx=1 在区间 −π6,π4 上有两个实数解,所以 sinωx=2kπ,k∈Z ,又 sinωx∈−1,1 ,所以 sinωx=0 在 −π6,π4 上有两个不同的实数解,当 x∈−π6,π4 时, ωx∈−π6ω,π4ω ,所以 π