2025-2026学年黑龙江省龙东十校联盟高一（下）开学数学试卷

这是一份2025-2026学年黑龙江省龙东十校联盟高一（下）开学数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知角α=−1670°，则角α为( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
2.已知集合A={−2,0,2,3,5}，B={x|x−3x≥0}，则A∩B=( )
A. {5}B. {−2,5}C. {−2,3,5}D. {−2,0,3,5}
3.若函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两个对称中心的距离为π8，则ω=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
4.已知sin(5π12−α2)=−25，则cs2(7π12+α2)+cs(13π12+α2)=( )
A. −1125B. −3125C. 1125D. 3125
5.若α，β∈R，则“α≠β”是“sinα≠sinβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
6.某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长13%，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是( )
(参考数据：lg1.13≈0.05，lg1.7≈0.23，lg2≈0.30)
A. 2027年B. 2028年C. 2029年D. 2030年
7.函数f(x)= 1−sinx+ 1+sinx的值域为( )
A. [12,2]B. [ 22,2]C. [1,2]D. [ 2,2]
8.若a⋅2a=b3lg3b=c3lg5c=1，则( )
A. a0，且m+n=1，则2mm2+n+nm+n2的最大值为 ．
14.已知函数f(x)=cs(sinωx)−1(ω>0)在区间(−π6,π4)上恰有两个零点，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知tan(α−3π)=3，求sin(7π+α)−2cs(6π−α)sin(4π−α)+3cs(5π+α)的值；
(2)若α是第一象限角，且sinα=513，求1−tanα21+tanα2的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sinxcsx+cs(π4+x)cs(π4−x)．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若f(α2+π12)= 55，且00,a≠1)，函数g(x)=9x−6⋅3x−93x．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断g(x)在(−∞,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)若∀x1∈[1,2]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)−sinx是偶函数，f(x)+csx是奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)=f(x)+32lnx．
(i)证明：函数g(x)有且只有一个零点；
(ii)记函数g(x)的零点为x0，证明：|3lnx0−sin2x0+32|0)图象的相邻两个对称中心的距离为π8，
所以f(x)的最小正周期T=2×π8=π4，所以ω=4．
故选：C．
由题意可得该函数周期，即可得ω．
本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可得cs2(5π12−α2)=1−sin2(5π12−α2)=2125，
所以cs2(7π12+α2)+cs(13π12+α2)=cs2[π−(5π12−α2)]−cs(π12+α2)
=cs2(5π12−α2)−sin[π2−(π12+α2)]
=cs2(5π12−α2)−sin(5π12−α2)=2125+25=3125．
故选：D．
根据诱导公式及同角三角函数关系，将cs2(7π12+α2)、cs(13π12+α2)转化为cs2(5π12−α2)、sin(5π12−α2)即可求解．
本题主要考查诱导公式及同角三角函数关系的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：“α≠β”可能得出“sinα=sinβ”，例如：α=π6，β=2π+π6．
反之：sinα≠sinβ⇒α≠β．
∴α≠β”是“sinα≠sinβ”的必要不充分条件．
故选：B．
利用三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．
本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，
在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长13%，
取2026年是第1年，则第n年该公司全年投入的科研经费为1700×(1+13%)n，
令1700×(1+13%)n>2500，即1.13n>2517，即1.13n>2.51.7，
两边取对数可得：lg1.13n>lg2.51.7，即nlg1.13>lg2.5−lg1.7，
则n>1−2lg2−≈1−2×0.30−，
则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元．
故选：C．
根据题意列出函数关系式，结合对数函数知识解不等式即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：易得f(x)≥0，
所以[f(x)]2=( 1−sinx+ 1+sinx)2=2+2 (1−sinx)(1+sinx)=2+2 1−sin2x=2+2|csx|，
又0≤|csx|≤1，所以2≤[f(x)]2≤4，所以 2≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[ 2,2]．
故选：D．
将表达式平方并利用余弦函数值域即可求出函数f(x)的值域．
本题主要考查了三角函数性质在值域求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：当a≥1时，a⋅2a>1，当a≤0时，a⋅2a≤0，
而a⋅2a=1，所以00)的交点，
在同一平面直角坐标系中，作出函数y=lg3x，y=lg5x，y=1x3的图象如图，
由图可知，bb3，故B正确；
对于C，当a=1，b=0，c=−1，d=−2，acd，所以−d>−c，而a>b，所以a−d>b−c，故D正确．
故选：BD．
举反例即可求解AC，利用作差法即可求解B，利用不等式的性质即可求解D．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，在f(x+1)f(x)=2中，
令x=0，得f(1)f(0)=2，
又当x∈[0,1]时，f(x)=2x+a，
所以f(0)=2a，f(1)=21+a，
所以f(0)f(1)=2a⋅21+a=22a+1=2，
所以2a+1=1，
解得a=0，故A错误；
对于B，由f(x+1)f(x)=2，得f(x)≠0，
用x+1替换x，
得f(x+2)f(x+1)=2，
所以f(x+2)=f(x)，
所以f(x)是周期为2的周期函数，故B正确；
对于C，由f(x+1)f(x)=2，
可得f(x)=2f(x+1)，
所以当x∈[−1,0)时，f(x)=2f(x+1)=22x+1=2−x，
又f(0)=1，显然当x∈[−1,1]时，函数f(x)为偶函数，
又因为函数f(x)的周期为2，
所以函数f(x)是实数集上的偶函数，故C正确；
对于D，作出函数y=f(x)，y=lg3x的图象，如下图所示：
由图可知函数y=f(x)的图象与y=lg3x的图象有6个交点，
故关于x的方程f(x)=lg3x恰有6个解，故D错误．
故选：BC．
先利用f(x+1)f(x)=2及x∈[0,1]的表达式求出a的值，即可判断A；
依据f(x+1)f(x)=2推出周期，即可判断B；
再求x∈[−1,0)表达式，判断奇偶性，即可判断C；
作函数图象判断方程解的个数，即可判断D．
本题考查了函数的周期性、奇偶性，考查了转化思想及数形结合思想，考查了对数函数的性质，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：f(x)−2=x3+x关于原点对称，所以f(x)关于(0,2)对称，故A正确；
g(x)=f(x)x=(x−1)2+2(x+1x)，
又y=(x−1)2，y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，故B正确；
易得f(x)在R上单调递增，
当x∈(−π2,π2)时，0m>0，所以m+n=2mn>2 mn，所以mn0，n>0，且m+n=1，
可得n=1−m，m∈(0,1)，
所以2mm2+n+nm+n2=2mm2+1−m+1−mm+(1−m)2=m+1m2−m+1
=m+1(m+1)2−3(m+1)+3=1m+1+3m+1−3，
因为2>m+1>1，
可得m+1+3m+1−3≥2 (m+1)⋅3m+1−3=2 3−3，
当且仅当m+1=3m+1，即m= 3−1时取等号，
所以2mm2+n+nm+n2=m+1m2−m+1≤12 3−3=2 3+33，
即2mm2+n+nm+n2的最大值是3+2 33．
故答案为：3+2 33．
根据题意利用换元法将原式变为2mm2+n+nm+n2=m+1m2−m+1，再由m2−m+1m+1=(m+1)+3m+1−3，结合基本不等式求解最值即可．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】(4,6]
【解析】解：f(x)=cs(sinωx)−1在(−π6,π4)上恰有两个零点，
则cs(sinωx)=1在(−π6,π4)上有两个实数解，
由cs(sinωx)=1可得sinωx=2kπ，k∈Z，
又sinωx∈[−1,1]，故有sinωx=0在(−π6,π4)上有两个不同的实数解，
当x∈(−π6,π4)时，ωx∈(−π6ω,π4ω)，所以π