黑龙江省绥化市2025_2026学年度第二学期高二入学检测数学试题含答案

这是一份黑龙江省绥化市2025_2026学年度第二学期高二入学检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了030等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写, 字体工整、笔迹清晰.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出, 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 有且只有一项符合题目要求.
1. 一组样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的 75% 分位数是( )
A. 31 B. 33 C. 34 D. 35
2. 已知 x∈Z,y∈Z ,则满足方程 xy+2024x−y=8092 的解 x,y 的个数为 ( )
A. 27 B. 54 C. 108 D. 216
3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是 500 克, 但公司承认实际质量存在误差. 已知每包糖果的实际质量服从正态分布 N500,σ2 ,且任意一包的糖果质量介于 495 克到 505 克之间的可能性为95.4%，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过 495 克的可能性约为 ( )
A. 2.3% B. 4.6% C. 95.4% D. 97.7%
4. 直线 l1:ax+y−1=0,l2:a−2x−ay+1=0 ，若 l1//l2 ，则 a 的值为( )
A. 1或-2 B. -2 C. 1 D. 2
5. 在二项式 x−2x5 的展开式中,含 x3 项的二项式系数为( )
A. 5 B. -5 C. 10 D. -10
6. 甲、乙两人进行一场游戏比赛, 其规则如下: 每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子, 比较两者的点数大小，其中点数大的得 3 分，点数小的得 0 分，点数相同时各得 1 分。经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得 3 分的条件下，乙也至少有一轮比赛得 3 分的概率为 ( )
A. 209277 B. 210277 C. 211277 D. 212277
7. 从 1,2,3,…,29,30 ,中选三个不同的数 a,b,c ,且满足 2b=a+c 的数组 a,b,c 的对数为( )
A. 120 B. 210 C. 420 D. 105
8. 已知点 M1,2 到直线 4x−3y+m=0 的距离与到 y 轴的距离相等,则 m=
A. 1 或-4 B. -1 或 4 C. -7 或 3 D. -3 或 7
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家 AAAA 级旅游景区, 位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区, 总面积约 27 平方千米, 始建于西汉. 午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、 宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地. 为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分，根据评分， 制成如图所示的频率分布直方图. 判断下列说法正确的是( )

A. x=0.030
B. 工作人员所选取的 100 人中在 [80, 90) 的人数为 3 人
C. 工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 [50,60),[60,70) 的两组中共抽取 6 人，则在 [50,60) 中抽取 2 人，在 [60,70) 中抽取 4 人
D. 按分层抽样的方法从评分在 [50,60),[60,70) 的两组中抽取的 6 人中再抽两人,则选取的 2 人评分分别在 [50,60) 和 [60,70) 内各 1 人的概率为 815
10. 设 A,B 为两个事件,且 PA=0.5,PB=0.3 ,下列说法正确的有( )
A. 若 A,B 互斥,则 PAB=0.15 B. 若 A,B 互斥,则 PA∪B=0.8
C. 若 A,B 独立,则 PAB=0.15 D. 若 A,B 独立,则 PA∪B=0.65
11. 已知双曲线 C:x24−y28=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 为 C 的右支上任意一点,点 M3,23 ，则下列结论中正确的是( )
A. PF1−PF2=4
B. 双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x
C. 过点 M 且与双曲线 C 只有一个公共点的直线有 1 条
D. PM+PF1 的最小值为 15+4
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ξ∼Bn,13,Eξ=5,η=2ξ+1 ,则 Dη= _____.
13. 已知书架的第一层随机摆放了 1 本语文书, 2 本不同的数学书, 3 本不同的英语书.现从中抽取 2 本书, 则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下, 第二本抽取的是数学书的概率为_____.
14. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为 4 的概率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联(无法单脚站立 10 秒者，被认为平衡力差, 反之, 被认为平衡力好), 随机邀请了 1000 名平衡力好和 1000 名平衡力差的人作为研究对象, 在跟踪了这 2000 人在 10 年内的健康情况后, 统计数据, 得到受试者中患心脏病的频率为 12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的 1.5 倍.
(1)根据题中信息，完成下面列联表；
单位:人
(2)根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
16. 已知圆 x2+y−42=16 ,过 B0,2 作直线 l 圆 C 交于点 M、N .
(1)求证: BM⋅BN 是定值；
(2)若点 A0,−4 . 求 kAMkAN 的值.
17. 六盘水红心猕猴桃因富含维生素C受K、Ca、Mg等多种矿物质和 18 种氨基酸, 被誉为“维 C 之王”. 某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术,2017 年至 2023 年的年利润 y 与年份代号 x 的统计数据如下表 (已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系).
(1)求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该果农 2024 年的年利润;
(2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年. 现从 2019 年至 2023 年这 5 年中随机抽取 3 年, 求恰有 1 年为甲级利润年的概率.
参考公式: 回归方程 y=bx+a 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx ,并计算得: i=17yi=301,i=17xi−xyi−y=140 ,
i=17xi−x2=28
18. 为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从同一年 A,B 两地区的空气质量指数(AQI)数据中随机抽取相同 20 天的观测数据,形成 20 个有序数对 a,b(a,b 分别为同一天 A,B 两地的空气质量指数),如下图所示:

根据空气质量指数, 将空气质量状况分为以下三个等级:
(1)任取此年中的一天，试估计 A 地区在这一天空气质量等级为“优良”的概率；
(2)任取此年中的三天，用样本的频率估计总体的概率，设 X 表示这三天中 A 地区空气质量等级为“优良”的天数. 求 X 的分布列及数学期望;
(3)从抽取的 20 天中随机抽取 3 天，求其中至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率.
19. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，A 是抛物线 C 上第一象限的点,且 A 到 F 的距离比 A 到直线 x=−2 的距离小 1,直线 l:x=my+4 与 C 交于 P、Q 两点.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)证明以 PQ 为直径的圆过一个定点，并求出定点坐标；
(3)若 ∠POF=∠QPF ，证明: ▵POF∽△QPF .
1. D
依题意, 该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列, 且该组样本共 10 个数据， 10×75%=7.5 ，
算得小数, 向下取整, 因此取第 8 个数作为 75% 分位数, 即 75% 分位数为 35 .
故选: D.
2. B
由题设,得 x−2024y+2024=−20222 ,
又 2022=2×3×337 ,其中2,3,337都为质数,
所以 x−2024y+2024=−22×32×3372 ,
因为 x,y∈Z ,所以 x−2024 可能为 −1k+12a3b337c,k∈{0,1},a,b,c∈{0,1,2} ,
所以 x−2024 的取值个数为 2×3×3×3=54 ,
方程 xy+2024x−y=8092 的整数解 x,y 的个数为 54 .
故选: B.
3. D
设 1 包糖果的质量为 X ,则 P4950 ，
设 Px1,y1、Qx2,y2 ,则 y1+y2=4m,y1y2=−16 ,
以 PQ 为直径的圆的方程为 x−x1x−x2+y−y1y−y2=0 ,
且 x1+x2=my1+4+my2+4=my1+y2+8=4m2+8,x1x2=y124y224=16 ,
则 x−x1x−x2=x2−x1+x2x+x1x2=x2−4m2+8x+16 ,
y−y1y−y2=y2−y1+y2y+y1y2=y2−4my−16,
代入圆方程得 x2+y2−4m2+8x−4my=0 ,该圆方程过原点,坐标为 0,0 .
(3)证明:由对称性不妨设 P 在第一象限，则有 x1x2=16,y1y2=−16,F1,0 ， Px1,y1、Qx2,y2 .

则 OP⋅OQ=x1x2+y1y2=0 ,所以 OP⊥OQ ,即 ∠POQ=π2 ,
延长 PF 交 y 轴于点 G ,连接 GQ ,
由 ∠POF+∠FOQ=∠GOQ+∠FOQ=π2 ,可知 ∠GOQ=∠POF ,
又因为 ∠POF=∠QPF ,则可得 ∠GOQ=∠QPF ,
所以 O、G、Q、P 四点共圆,且 PQ 为直径,所以 PG⊥QG ,
直线 PF 的方程为 y=y1x1−1x−1 ,令 x=0 ,则 G0,y11−x1 .
由 GF⋅GQ=0 ,得 −1,y11−x1⋅x2,y2−y11−x1=0 ,即 −x2+y1y21−x1−y11−x12=0 ,
且 y1y2=−16 ,化简可得 −x2+−161−x1−4x11−x12=0 ,且 x1x2=16 ,
即可得 4x1+x2=16 ,解得 x1=2,x2=8 ,故 P2,22,Q8,−42,F1,0 , 则 cs∠OFP=FO⋅FPFO⋅FP=−13 ， cs∠PFQ=FP⋅FQFP⋅FQ=−13 ，
所以 ∠OFP=∠PFQ ,又 ∠POF=∠QPF ,
所以 △POF∽△QPF .平衡力
心脏病
合计
未患心脏病
患心脏病
平衡力好
平衡力差
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号 x
1
2
3
4
5
6
7
年利润 y (单位:千元)
29
33
36
44
48
52
59
空气质量指数 AQI
(0,100)
[100, 200)
[200, 300)
空气质量状况
优良
轻中度污染
重度污染
平衡力
心脏病
合计
未患心脏病
患心脏病
平衡力好
900
100
1000
平衡力差
850
150
1000
合计
1750
250
2000
X
0
1
2
3
P
1 64
9 64
27 64
27 64