黑龙江省大庆市大庆中学2024−2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2024−2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于( )
A．120°B．30°C．60°D．60°或30°
2．下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（ ）
A．B．1
C．1D．1
3．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
4．若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ）
A．B．
C．x=1或D．或x=1
5．已知数列满足，，则（ ）
A．B．2C．3D．
6．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．公差
B．
C．
D．时，最大
8．已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
11．已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．若直线与圆相交，弦长最大值为12
C．直线过定点
D．当时，直线与圆相切
三、填空题（本大题共3小题）
12．随机敲击电脑键盘上的1，2，3这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰好都是奇数的概率为 ．
13．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
14．已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四边形中，，且．
(1)求的长；
(2)求的长；
(3)求．
16．已知数列的前n项和.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的前n项和.
17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值
（2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
（3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求这组恰好抽到人的概率.
18．如图.在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，、分别为椭圆的左、右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）不过点F2的直线l:y=kx+m (m≠0)交椭圆C于A，B两点.
①若k2=,且S△AOB=，求m的值；
②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案
1．【答案】B
【详解】设直线与平面所成的角为，则，故选B．
2．【答案】D
【详解】双曲线的焦点在x轴上，半焦距，
对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是；
对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；
对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是.
故选：D
3．【答案】A
【详解】因为函数的图象向右平移个单位后，
得到的图象，
所以.
故选：A.
4．【答案】C
【详解】根据题意，分情况讨论可得：
当两个点，在所求直线的异侧时，
即过线段的中点．由于直线又经过，
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为；
当，在所求直线同侧时，
直线与所求的直线平行，
又因为，
所以所求的直线斜率为，由于直线又经过，
直线方程为，
化简得：，
综上，满足条件的直线为或，
故选：C．
5．【答案】A
【详解】因为，，
令，则；
令，则；
令，则；
可知数列为周期为的周期数列，所以.
故选：A.
6．【答案】D
【详解】设，
又，
，解得，
即.
所以向量在基底下的斜坐标为.
故选：D.
7．【答案】D
【详解】设数列的公差为d，
对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为
，
所以时，最大，故D错误.
故选：D.
8．【答案】C
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可.
【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，
又∵，且分别为，的中点，∴，
∴到渐近线的距离为，
∴，，结合，可得：①，
∵，∴即，
整理得：，将①代入，，即.
故选：C.
9．【答案】AC
【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.
故选：AC.
10．【答案】AC
【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，
则，所以，即，故正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选AC．
【易错分析】B选项：当时，有或两种情况.
11．【答案】AD
【详解】由圆可化为，故A正确；
弦长最大值为直径，B错误；
由直线方程可化为，则直线过定点，故C错误；
当时，直线即，
圆心到直线的距离，从而直线与圆相切，故D正确．
故选：AD．
12．【答案】
【详解】由题意，所有的结果有共种，
符合题意的有共种，
所有所求概率为.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为，
由于动圆与定圆相外切，且与直线相切，
动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大，
所以，动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离，
所以，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，
设动圆圆心的轨迹方程为，则，可得，
所以，动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
14．【答案】63
【详解】试题分析：因为是方程的两个根，且等比数列是递增数列，所以，即，则；故填63．
考点：1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以，
所以．
又，所以．
由余弦定理得，
则．
（3）在中，，
所以．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：
当时，；
当时，；
经验证当时上式成立，
所以.
因为（常数）
所以数列是等差数列.
（2）由(1)知： .
令，则.
因为，
所以当时，；
当时，；
综上所得：
17．【答案】（1）；（2）平均数为岁；中位数为岁；（3）.
【分析】
（1）由频率分布直方图即能求出；
（2）由频率分布直方图即能求出平均数和中位数；
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，再利用列举法即可求出.
【详解】
解：（1）由，得.
（2）平均数为岁；
设中位数为，则，∴岁.
（3）第组的人数分别为人，人，从第组中用分层抽样的方法抽取人，
则第组抽取的人数分别为人，人，分别记为.
从人中随机抽取人，有，
共个基本事件，从而第组中抽到人的概率.
【点睛】
方法点睛：求解古典概型的问题方法之一：运用列举法是常用的方法，列举时，注意思考的顺序，做到不重不漏.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，交于点，连接，

∵为中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）

如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，得.
设直线与平面所成角为，且，
∴，∴，
即直线与平面所成角的余弦值为.
19．【答案】（1）；
（2）①；②直线恒过定点.
【分析】（1）根据题意，可求得，，进而求得，由此得到椭圆方程；
（2）①联立方程，得到与的不等关系，及两根的关系，表示出弦长及点到直线的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，由此可得到与的等量关系，进而求得定点．
【详解】（1）由抛物线的方程得其焦点为，则，
当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，
，故椭圆的方程为；
（2）联立得，
，得，
设，，，，则，
①且，代入得，
，
设点到直线的距离为，则，
，
，则；
②，由题意，
，即，
，解得，
直线的方程为，故直线恒过定点，该定点坐标为．