数学人教版（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形第1课时教学设计

这是一份数学人教版（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形第1课时教学设计，共14页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教材分析
本节课是人教版八年级四边形章节中“平行四边形”的起始课，承接三角形全等与一般四边形的知识，是特殊四边形(矩形、菱形、正方形)学习的基础，也是几何中“化归思想”(将四边形问题转化为三角形)的核心应用载体，在整个初中平面几何体系中起承上启下的关键作用.
教材以“一般到特殊”的思路展开：先从四边形的边的位置关系分类，引出平行四边形的定义；再通过“观察——猜想——度量——证明”的探究路径，先研究平行四边形的对边、对角性质(借助三角形全等证明)，再探究对角线互相平分的性质；最后以例题巩固性质应用，用练习强化知识迁移，形成“定义——猜想——证明——性质——应用”的完整逻辑闭环.

二、学情分析
1.已有基础
八年级学生已掌握三角形全等的判定与性质、勾股定理，理解“两组对边分别平行”的几何含义，具备初步的观察、猜想和简单几何证明能力，能独立完成基础的逻辑推理.
2.存在困难
一是难以主动想到“连接对角线”将平行四边形问题化归为三角形；二是对“性质证明的必要性”认知不足，易停留在直观观察层面；三是对“对角线互相平分”的几何语言表达和应用不够熟练.
3.认知特点
八年级学生思维正从直观形象思维向抽象逻辑思维过渡，对“动手操作——探究发现”的学习方式兴趣浓厚，但逻辑推理的严谨性仍需强化，适合通过探究活动突破难点.

三、教学目标
1.掌握平行四边形的定义及“对边相等、对角相等、对角线互相平分”的性质；
2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明.
3.经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，体会“化归”和“数形结合”思想，提升几何直观、逻辑推理和合作探究能力.
4.通过合作探究，让学生体会学习的乐趣，增强学习的信心，感受平行四边形的实际应用价值，培养几何学习的兴趣和严谨的科学态度.

四、教学重难点
重点：掌握平行四边形的定义及“对边相等、对角相等、对角线互相平分”的性质；
难点：能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明.

五、教学过程
情境导入
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
答：
追问：你还能举出一些例子吗?
师生活动：教师展示生活中平行四边形的应用实例(伸缩门、防护栏、货车伸缩架)，引导学生观察并提问：“这些物体为什么要设计成平行四边形的结构?”学生观察、思考并自由发言，分享发现的结构特点.教师追问：“你还能举出生活中类似的例子吗?”鼓励学生联系生活经验，列举更多实例，如晾衣架、折叠桌椅等.
设计意图：通过生活实例，让学生直观感受平行四边形在生活中的广泛应用，激发学习兴趣；引导学生发现平行四边形“易变形”的特性，自然引出本节课的探究主题，同时培养学生从生活中发现数学、应用数学的意识.
探究新知
活动一：探究平行四边形的定义
问题1：通过上述实例，你还记得什么样的图形叫作平行四边形吗？
师生活动：教师通过实例提问，引导学生回忆平行四边形的定义，明确其符号表示与书写规范；再抛出“基本元素”问题，让学生自主梳理边、角、对角线，教师进行补充和强调.
答：平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”．
注意：1.表示平行四边形时一定要按顺(或逆)时针依次书写各顶点字母；2.“▱”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
问题2：组成平行四边形的基本元素有哪些？
答：边：AB、 BC、 CD、 DA．
角：∠A、∠B、∠C、∠D．
对角线：AC、 BD．
设计意图：从定义入手，夯实概念基础，明确符号与书写规范；通过梳理基本元素，帮助学生建立对平行四边形的结构认知，为后续性质探究做好铺垫.
活动二：探究平行四边形边、角特征
问题3：根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？
【互动探究】
师生活动：教师引导学生探究平行四边形，通过度量边和角，提出猜想；再让学生沿对角线剪开，观察三角形全等，进而通过连接对角线，利用三角形全等证明猜想；最后追问“不添辅助线如何证明对角相等”，引导学生用平行线性质完成证明.
答：经过测量， 猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
做一做：请用剪刀，沿 AC 将平行四边形剪成两个三角形，你能发现这两个三角形有什么样的关系吗?

AB=CD；AD=BC
∠A=∠C；∠B=∠D
猜想：平行四边形对边相等，对角相等．
问题4：你能证明你的猜想吗?
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC.
分析：求证 AD = BC，AB = CD
连接 AC
AD∥BC，AB∥CD → ∠1 =∠2，∠3 =∠4 → ∠BAD = ∠BCD
AC 是公共边 → △ABC≌△CDA → AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC
证明：如图，连接▱ABCD 的对角线 AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.(两直线平行，内错角相等)
∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，
即∠BAD = ∠DCB.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴△ABC ≌△CDA(ASA)
∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
平行四边形问题 →（转化为） 三角形问题
问题5：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
分析：AD∥BC，AB∥CD → ∠A +∠B = 180°，∠A +∠D = 180°→ ∠B = ∠D
同理可得∠A =∠C
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
总结：平行四边形性质1：
平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．
几何语言表示为：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
∠A=∠C，∠B=∠D
设计意图：让学生经历“观察——猜想——操作——证明”的完整探究过程，体会化归思想，掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质，培养逻辑推理能力.
活动三：探究平行四边形对角线特征
问题6：如图，在▱ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
师生活动：教师引导学生度量、裁剪平行四边形对角线交点分割的线段，提出对角线互相平分的猜想；播放形状变换视频验证猜想，再组织学生利用三角形全等完成严谨证明，最后规范几何语言表达.
量一量：OAOC OBOD
剪一剪

猜想：平行四边形的对角线互相平分．
问题7：改变▱ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？
【互动探究】
证明你发现的结论.
已知：▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：OAOC，OBOD.
证明：∵在▱ABCD中，ADBC，AD//BC.
∴12，34
∴△AOD≌△COB(ASA)
∴OAOC，OBOD.
总结：平行四边形的性质2：
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言表示为:
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OAOC，OBOD.
设计意图：延续“操作——猜想——验证——证明”的探究路径，突破对角线性质难点，深化化归思想，培养学生的几何直观与逻辑推理能力.
问题8：如图，在▱ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，则△AOB 与△AOD 的面积的大小关系是什么？
师生活动：教师先引导学生分析△AOB 与△AOD的面积关系，通过作高、利用对角线互相平分的性质证明面积相等；再追问还有哪些三角形面积相等，让学生结合全等三角形知识，自主发现四个三角形面积都相等，最后师生共同总结结论.
分析：如图，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E．
∵在▱ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，
∴OB＝OD．
∵S△AOB＝12AE·OB，S△AOD＝12AE·OD，
∴S△AOB＝S△AOD．
问题9：还有哪些三角形的面积和△AOB 与△AOD 的面积相等？
分析：△AOB≌△COD → S△AOB＝S△COD
△AOD≌△COB → S△AOD＝S△COB
S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△COB
总结：两条对角线把平行四边形分成四个三角形，它们的面积都相等，且相对的两个三角形全等．
设计意图：通过面积问题深化对平行四边形对角线性质的理解，强化“等底同高”和全等三角形的应用，培养学生的几何推理和知识迁移能力.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示例题，引导学生先利用平行四边形对边相等的性质求出BC、CD的长度；再结合AC ⊥ BC的条件，组织学生用勾股定理计算AC，进而求出 OA和面积；最后师生共同规范解题步骤.
例1 如图， 在▱ABCD中，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及▱ABCD 的面积.
分析：平行四边形对边相等 → BC，CD 的长
运用勾股定理 → AC 的长
面积公式 → □ ABCD 的面积
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∵AC ⊥ BC，
∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，AC =AB2-BC2=102-82=6.
∴ OA = OC = 12AC=3，S□ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
设计意图：通过例题将平行四边形的性质与勾股定理、面积计算等知识融合，强化性质的应用，提升学生综合运用知识解决问题的能力.
【经典例题】
师生活动：教师出示例2，引导学生用“平移法”或“中点公式法”，分三种对角线情况讨论，求出第四个顶点的所有可能坐标，再排除不可能选项；接着出示例3，引导学生分析高的位置，分锐角、钝角三角形两种情况，用勾股定理计算边长，最后总结易错点.
例2 平面直角坐标系xOy 中，点A(－3，0)，B(0，2)，以O，A，B 为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是( )
A．(－3，2) B．(3，2)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
分析：
设第四个顶点为点C，如图所示.
(1)当OA 为对角线时，AC1∥OB，AC1＝OB，
此时点B 怎么平移到点O，点A就以相
同的方式平移到点C1.
∵ O(0，0)，A(－ 3 ，0)，B(0，2)，
∴ C1(－3，－2).
(2)当OB为对角线时，BC2∥OA，BC2＝OA，
同理可得C2(3，2).
(3)当AB 为对角线时，BC3∥OA，BC3＝OA，
同理可得C3(－ 3 ，2).
综上可知，第四个顶点的坐标为(－3，－2)或(3，2)或(－3，2).
故答案选：D
总结：方法点拨：
在平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标的两种方法：
1. 利用平行四边形的对边平行且相等，结合平移求点的坐标；
2. 利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式求点的坐标.
例3 在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25 ，则▱ABCD的周长等于多少？
分析：已知条件未给出图形，需要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
解：分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图，
过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝4.∵ AB＝5，AC＝25，
∴ EC＝AC2－AE2＝2，BE＝AB2－AE2＝3.
∴ BC＝BE＋EC＝5.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD＝BC＝5，CD＝AB＝5.
∴▱ABCD的周长等于20.
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图，过点A作AF⊥BC，交BC的延长线于点F，则AF＝4.
∵ AB＝5，AC＝25，
∴ FC＝AC2－AF2＝2，BF＝AB2－AF2＝3.
∴ BC＝BF－FC＝ 1 .
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD＝BC＝1，CD＝AB＝5.
∴ ▱ABCD的周长等于12.
综上所述，▱ABCD 的周长等于20或12.
总结：易错警示：
分情况画出图形，易漏解：
1. 涉及三角形或平行四边形的高，画图时常常分类讨论.
2. 平行四边形的分类画图问题可通过连接对角线转化为三角形的分类画图问题.
本题不要漏掉△ ABC为钝角三角形的情况.
设计意图：通过坐标与几何情境，强化分类讨论思想，培养学生用代数方法解决几何问题的能力，提升严谨性和空间想象能力.
课堂练习
【教材练习】
1. 在▱ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 3.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A= 38°，∠B =∠D ，∠A + ∠D = 180°.
∴∠B =∠D = 180°－38°= 142°.
2. 如图， 在▱ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14. △AOD 的 周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
∴ △AOD的周长＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
又△DBC 的周长－△ABC 的周长 = (BD +BC + CD)－(AB + BC + AC)
= BD + BC + CD－AB－BC－AC = BD－AC = 14－8 = 6.
∴△DBC的周长比△ABC的周长更长，长6.
3. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
解：AD = BC. 理由：
由已知，得AD//BC，AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC
即线段AD和BC的长度相等.
师生活动：教师出示教材练习，先让学生独立完成第1题，巩固对边相等、对角相等的性质；再引导学生分析第2题，利用对角线平分性质计算△AOD周长，并比较△ABC 与△DBC 的周长差；最后让学生探究第3题，通过纸条重叠情境自主证明重合部分是平行四边形，从而得出AD=BC.
设计意图：通过分层练习，从基础性质应用到综合计算，再到实际情境探究，层层递进巩固平行四边形的性质，培养学生知识迁移和解决实际问题的能力，强化几何证明的规范性.
【限时训练】
1.如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm
分析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，
∴AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)，
∵▱ABCD的周长是28cm，
∴2(AB+BC)=28，
∴AB+BC=14，
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+BC+AC=22cm，
∴14+AC=22，
∴AC=8(cm)．
答：C
2.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F.若AB=5，AD=9，则EF的长为
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
分析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
则∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
同理可证：DF=CD=5，
∴EF=AE+FD-AD=5+5-9=1．
故选：A.
答：A
3.如图，在平行四边形中，DB=DC，∠C=80∘，AE⊥BD于E，则∠DAE= 度．
分析： ∵DB=DC，
∴∠DBC=∠C=80∘，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠DBC=80∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90∘，
∴∠DAE=90∘-80∘=10∘，
故答案为：10.
答：10
4.如图，在□ABCD中，AC，BD交于点O，若AC=8，BD=6，则AB长的取值范围是 ．
答：1