初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课后测评

这是一份初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课后测评，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列乘法公式的运用，正确的是（ ）
A . （－x＋y）（y＋x）＝x2－y2
B . （a－3）2＝a2－9
C . （2x－3）（2x＋3）＝4x2－9
D . （4x＋1）2＝16x2－8x＋1
2.已知（﹣3a+m）（4b+n）=16b 2﹣9a 2 ， 则m，n的值分别为（ ）
A . m=﹣4b，n=3a
B . m=4b，n=﹣3a
C . m=4b，n=3a
D . m=3a，n=4b
3.已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
4.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A . （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
B . （a+b）2=a2+2ab+b2
C . （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
D . a2﹣ab=a（a﹣b）
5.若 14﹣ax+x 2是一个完全平方式，则常数a的值为（ ）
A . -12 B . ±12 C . 1 D . ±1
6.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，你认为他做对的是（ ）
A .a+b2=a2+b2
B .2ab+b÷b=2a
C .−2ab−1=−2ab−2a
D .aa+1=a2+a
7.若二次三项式 x2+mx+14 为完全平方式，则m的值为（ ）
A . ±2 B . 2 C . ±1 D . 1
8.下列等式成立的是（ ）．
A .x+3yx−3y=x2−9y2
B .a+b2=a2+b2
C .x+2x−1=x2+x−1
D .a−b2=a2−b2
9.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A . 24cm2 B . 36cm2 C . 48cm2 D . 60cm2
二、填空题
1.已知a+10=b+12=c+15，则a 2+b 2+c 2﹣ab﹣bc﹣ac= ________ ．
2.若一个整数能表示成 a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为 2=12+12 ， 再如， M=x2+2xy+2y2=x+y2+y2（ x+y ， y是正整数），所以M也是“丰利数”．若 p=4x2−mxy+2y2−6y+9（其中 x>y>0）是“丰利数”，则 m= ________ ．
3.计算(2a－b)(2a + b)的结果是 ________ .
4.（﹣ 32x﹣11y）（ ________ ）= 94x2﹣121y 2 ．
5.103×97=
三、计算题
1.甲、乙两个长方形，其边长如图所示 (m>0) ， 其面面积分别为 S1 ， S2 ．
（1） 比较 S1与 S2的大小．
（2） 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为 S3 ， 试探圥： S3与 2S1+S2的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
2.（1）利用公式计算① 1252−123×127；② 20202−40×2020+400 ．
（2）已知 2x−3x=5 ， 求下列各式之值：① 2x+3x；② x2−92x+3x ．
3.先化简，再求值： 2a3a+4+2a−32−3a−55+3a ， 其中 a2−4a=2 ．
4.（1）先化简，再求值：
2x+y2x−y+y+xy−3x÷x ， 其中 x=−5 ， y=12 ．
（2）阅读理解：
已知 a+b=5 ， ab=3 ， 求 a2+b2的值．
解：∵ a+b=5 ，
∴ a+b2=52 ， 即 a2+2ab+b2=25 ．
∵ ab=3 ，
∴ a2+b2=a+b2−2ab=19 ．
参考上述过程解答：
（1）若 x−y=−3 ， xy=−2 ．
① x2+y2=________；② x+y2=________；
（2）已知 m+1m=7 ， 求 m2+1m2的值．
四、综合题
1. 若我们规定三角“ ”表示为： abc；方框“ ”表示为： (xm+yn).例如： =1×19×3÷(24+31)=3.请根据这个规定解答下列问题：
（1） 计算： = ________ ；
（2） 代数式 为完全平方式，则 k= ________ ；
（3） 当 x为何值时，代数式 有最小值，最小值是多少？
2.用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式 .例如：计算图 1的面积，把图 1看作一个大正方形 .它的面积是 (a+b)2；如果把图 1看作是由 2个长方形和 2个小正方形组成的，它的面积为 a2+2ab+b2 ， 由此得到 (a+b)2=a2+2ab+b2 ．
（1） 如图 2 ， 由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 (a+b+c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ________ ．
（2） 利用(1)中的结论解决以下问题：
已知 a+b+c=10 ， ab+ac+bc=37 ， 求 a2+b2+c2的值；
（3） 如图 3 ， 正方形 ABCD边长为 a ， 正方形 CEFG边长为 b ， 点 D ， G ， C在同一直线上，连接 BD、 DF ， 若 a−b=5 ， ab=6 ， 求图 3中阴影部分的面积．
3.某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：
在长方形 ABCD中， AD长为 am ， AB长为 bm ， 且 a>b ．
（1） 若该长方形的周长为 8m ， 面积为 3m2 ， 求 a2+b2的值；
（2） 若a，b满足 a2+ab=10,b2+ab=6 ， 求 a−b的值；
（3） 为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为 216m2的长方形空地 ABCD中划出长方形 AEFG和长方形 JKCL ， 将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为 3m ， 宽为 2m的长方形水池 JNFMJM>JN ， 将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为 50m ， 求 AB和 AD的长．
4.探究规律，解决问题：
（1） 化简： (m−1)(m+1)= ________ ， (m−1)(m2+m+1)= ________ ．
（2） 化简： (m−1)(m3+m2+m+1) ，写出化简过程．
（3） 化简： (m−1)(mn+mn−1+mn−2+⋯+1)= ________ ．（n为正整数， mn+mn−1+mn−2+⋯+1 为 n+1 项多项式）
（4） 利用以上结果，计算 1+3+32+33+⋯+3100 的值．
5.你能求（x一1）（x 99+x 98+x 97+…+x+1）的值吗?
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值.
（1） （x－1）（x+1） = ________ ；
（2） （x—1）（ x 2+x+1） = ________ ；
（3） （x－1）（x 3+ x 2+x+1） = ________ ；
…
由此我们可以得到：
（4） （x一1）（ x 99+x 98+x 97+…+x+1） = ________ ，
请你利用上面的结论，完成下列的计算：
（5） 2 99+2 98+2 97+…+2+1；
五、解答题
1.如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1） 用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2） 如果a+b=7 ab=5，求阴影部分的面积．
2.计算：
（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2 ．
3.阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．
例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．
解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a﹣2）=a2﹣a﹣2，y=a（a﹣1）=a2﹣a，
∵x﹣y=（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）=﹣2＜0，∴x＜y．
4.阅读下列材料：
若 x满足 9−xx−4=4 ， 求 9−x2+x−42的值．
解：设 9−x=a, x−4=b ， 则 9−xx−4=ab=4, a+b=9−x+x−4=5 ，
所以 9−x2+x−42=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×4=17 ．
请根据材料解答下列问题：
（1） 若 x满足 2025−xx−2026=−2 ， 求 2025−x2+x−20262的值．
（2） 如图，在长方形 ABCD中， AB=20, BC=12 ， E, F分别是 BC, CD上的点，且 BE=DF=x ， 分别以 CF, CE为边在长方形 ABCD外侧作正方形 CFGH和正方形 CEMN ．
①用含 x的代数式表示： CF=______， CE=______；
②若长方形 CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
5.材料一：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式 A=a2+2a+1 ， B=(a+4)(a−2) ， A−B=a2+2a+1−(a+4)(a−2)=a2+2a+1−a2+2a−8=9 ， 则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
材料二：把形如 ax2+bx+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ．
例如：我们可以将代数式 a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10=a2+6a+10=a2+6a+9+10−9=(a+3)2+1
∵ (a+3)2≥0 ， ∴ (a+3)2+1≥1 ， 因此，该式有最小值1．
（1） 已知多项式M是多项式N的“雅常式”，如果 M=a2+2a−1 ， N=a+3a−1 ， 请求出M关于N的“雅常值”；
（2） 多项式 Q=x2+2x−n的最小值为 −3 ， 求出n的值；若 P=(x+m)2（m为常数）是Q的“雅常式”，求P关于Q的“雅常值”．
六、阅读理解
1.阅读材料：“若x满足 90−xx−70=30 ， 求 90−x2+x−702的值”．
解：设 90−x=a ， x−70=b ，
则 90−xx−70=ab=30 ，a+b=90−x+x−70=20
所以(90−x)2+(x−70)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340
（1） [理解]
①若x满足 50−xx−45=10 ， 则 50−x2+x−452的值为_________；
②若x满足 (2020−x)2+(2018−x)2=40 ， 求 2020−x2018−x的值．
（2） [应用]已知正方形 ABCD的边长为x，E，F分别是 AD、DC上的点，且 AE=2 ， CF=6 ， 长方形 EMFD的面积是32，分别以 MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

2.阅读：若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x） 2+（x-60） 2的值.
解：设80-x=a，x-60=b，
则（80-x）（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340.
请仿照上述例子解决下列问题：
（1） 若x满足（20-x）（x-30）=-10，求（20-x） 2+（x-30） 2的值；
（2） 若x满足（2025-x） 2+（2024-x） 2=2025，求（2025-x）（2024-x）的值；
（3） 如图，正方形ABCD的边长为x，AE=25，CG=40，长方形EFGD的面积是600，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）.