2026届高三数学二轮复习讲义：知识必备　4.数　列（含解析）

这是一份2026届高三数学二轮复习讲义：知识必备　4.数　列（含解析），共4页。
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N*)
2.活用定理与结论
(1)等差数列的常用性质
①若{an}为等差数列，且m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am+an=ap+aq；
②若{an}为等差数列，且2m=p+q(m，p，q∈N*)，则2am=ap+aq，称am为ap和aq的等差中项；
③若{an}为等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)仍是等差数列，公差为md；
④若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d；
⑤若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则anbn=S2n-1T2n-1；
⑥若{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，且{an}的前n项和为Sn，则c+an，can，man+tbn，Snn仍为等差数列，其公差分别为d1，cd1，md1+td2，d12(c，m，t是非零常数)；
⑦若{an}是等差数列，其项数为偶数2n，公差为d，则S偶-S奇=nd，S奇S偶=anan+1；
⑧若{an}是等差数列，其项数为奇数2n+1，则S偶-S奇=-an+1，S奇S偶=n+1n；
⑨等差数列的函数特性：若{an}是等差数列，公差为d.
(Ⅰ)已知数列的通项an和前n项和Sn的表达式，则可通过an和Sn对应的函数图象判断Sn的最值；
(Ⅱ)若数列的通项an和前n项和Sn的表达式未知，则可通过以下方法判断Sn的最值：
(ⅰ)当a1>0，d0,则使Sn>0成立的最小正整数n的值为k+1，若Skk.
(2)等比数列的常用性质
①若{an}为等比数列，且m+n=s+t(m，n，s，t∈N*)，则aman=asat；
②若{an}为等比数列，且2m=s+t(m，s，t∈N*)，则am2=asat，称am为as和at的等比中项，且am=±asat；
③若{an}为等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)仍是等比数列，公比为qm；
④若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则当q≠-1或q=-1且k为奇数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…(k∈N*)也是等比数列，其公比为qk；
⑤若{an}为等比数列，a1·a2·…·an=Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列；
⑥若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，其公比分别为q1，q2，则数列{can}，{man·tbn}和mantbn(c，m，t是非零常数)也是等比数列，其公比分别为q1，q1q2，q1q2；
⑦若等比数列{an}的项数为偶数2n，公比为q，则S奇S偶=1q；
⑧若等比数列{an}的项数为奇数2n+1，公比为q(q≠-1)，则S奇-a1S偶=q.
(3)判断等差数列的常用方法
①定义法
an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
②通项公式法
an=pn+q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
③中项公式法
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
④前n项和公式法
Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(4)判断等比数列的常用方法
①定义法
an+1an=q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
②通项公式法
an=cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
③中项公式法
an+12=an·an+2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
3.求an的常用方法
(1)找规律法：已知数列的前几项求an.(仅限于猜想，猜想的结论需用数学归纳法证明)
(2)公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求an.
(an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d等等差数列的相关性质，an=a1qn-1，an=amqn-m等等比数列的相关性质).
(3)公式法：已知S1，或已知an与Sn的关系式，求anan=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
(4)累加法：已知递推公式an+1=an+f(n)，求an(当n≥2时，an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)).
例：已知a1=1，an+1=an+4n，可推出an=2n2-2n+1.
(5)累乘法：已知递推公式an+1=anf(n)，求an当n≥2时，ana1=a2a1·a3a2·…·anan-1.
例：已知a1=1，an+1=an·4n，可推出an=2n2-n.
(6)构造法：
①已知递推公式an+1=kan+b(k，b为常数，kb(k-1)≠0)，求an(构造新等比数列，an+1+λ=k(an+λ)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3，可推出an=2n+1-3.
②已知递推公式an+1=kan+bcn，求an.
(ⅰ)构造新等比数列，an+1+λcn+1=k(an+λcn)
例：已知a1=1，an+1=2an+3×5n，可推出an=5n-2n+1.
(ⅱ)构造新等差数列，c·an+1cn+1=k·ancn+b，当k=c时优先选用此方法
例：已知a1=1，an+1=2an+2n可推出an=n·2n-1.
③已知递推公式an+1=kan+bn+c，求an(构造新等比数列，an+1+λ1(n+1)+λ2=k(an+λ1n+λ2)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3n+1，可推出an=2n+2-3n-4.
④已知递推公式an+1=canan+d(c，d为非零常数)，求an构造新等差数列，1an+1=dc·1an+1c.
例：已知a1=1，an+1=an2an+1，可推出an=12n-1.
4.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(3)通项公式形如an=c(an+b1)(an+b2)(其中a，b1，b2，c为常数)的数列用裂项相消法求和.
裂项相消法常见形式：
1n(n+1)=1n-1n+1，
1n(n+2)=121n-1n+2，
1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，
2n(2n+1-1)(2n-1)=12n-1-12n+1-1.
(4)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.
(5)通项公式形如an=(-1)n·n，an=a·(-1)n或an=(-1)n(2n+1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列一般用并项法求和.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
1.已知数列的前n项和求an，易忽视n=1的情形，直接用Sn-Sn-1表示.作答时，应验证a1是否满足an=Sn-Sn-1，若满足，则an=Sn-Sn-1；否则，an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±ab.
3.易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.
4.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
5.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.等差数列
等比数列
通项
公式
an=
a1+(n-1)d
an=
a1qn-1(q≠0)
前n项
和公式
Sn=n(a1+an)2
=na1+n(n-1)2d
①q≠1，
Sn=a1(1-qn)1-q
=a1-anq1-q；
②q=1，Sn=na1