2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题二　第三讲　数列的综合应用（含解析）

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1.(2023·全国乙卷理，T10)已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S={cs an|n∈N*}，若S={a，b}，则ab等于( )
A.-1B.-12C.0D.12
2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为 mm.(不计量器的厚度)
3.(2025·全国Ⅰ卷，T16)已知数列{an}中，a1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1).
(1)证明：数列{nan}为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.
考查方向：
一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的递推关系.
1.答案 B
解析 方法一 由题意得an=a1+2π3(n-1)，
cs an+3=csa1+2π3(n+2)
=csa1+2π3n+4π3
=csa1+2π3n+2π-2π3
=csa1+2π3n-2π3
=cs an，
所以数列{cs an}是以3为周期的周期数列，
又cs a2=csa1+2π3
=-12cs a1-32sin a1，
cs a3=csa1+4π3
=-12cs a1+32sin a1，
因为集合S中只有两个元素，
所以有三种情况：cs a1=cs a2≠cs a3，
cs a1=cs a3≠cs a2，
cs a2=cs a3≠cs a1.
下面逐一讨论：
①当cs a1=cs a2≠cs a3时，
有cs a1=-12cs a1-32sin a1，
得tan a1=-3，
所以ab=cs a1-12cs a1+32sin a1
=-12cs2a1+32sin a1cs a1
=-12cs2a1+32sin a1cs a1sin2a1+cs2a1
=-12+32tan a1tan2a1+1
=-12-323+1=-12.
②当cs a1=cs a3≠cs a2时，
有cs a1=-12cs a1+32sin a1，
得tan a1=3，
所以ab=cs a1-12cs a1-32sin a1
=-12cs2a1-32sin a1cs a1
=-12cs2a1-32sin a1cs a1sin2a1+cs2a1
=-12-32tan a1tan2a1+1
=-12-323+1=-12.
③当cs a2=cs a3≠cs a1时，
有-12cs a1-32sin a1=-12cs a1+32sin a1，
得sin a1=0，
所以ab=cs a1-12cs a1-32sin a1
=-12cs2a1=-12(1-sin2a1)=-12.
综上，ab=-12.
方法二 取a1=-π3，则cs a1=12，
cs a2=csa1+2π3=12，
cs a3=csa1+4π3=-1，
所以S=12，-1，ab=-12.
2.答案 23 57.5
解析 设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，
升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3=10V2，
即π×32522×230=10×π×32522×h2，
解得h2=23.
又V2=10V1，
即π×32522×23=10×π×6522×h1，
所以h1=57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm.
3.(1)证明 在数列{an}中，a1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1)，n∈N*，
∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1时，1×a1=3，
∴数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，
由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1
=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1，①
又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm，②
①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，
令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-2[1-(-2)m-1]1-(-2)-(m+2)(-2)m=73-m+73(-2)m，
故f'(-2)=79-m3+79(-2)m.

考点一 数列在实际问题中的应用
例1 (1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为( )
A.癸未年B.辛丑年
C.乙酉年D.戊戌年
答案 C
解析 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
100÷10=10余0，则2125年对应的天干为乙，
100÷12=8余4，则2125年对应的地支为酉，
所以2125年为乙酉年.
(2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第一圈)，第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉比第n-1圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉( )
A.57株B.56株
C.55株D.54株
答案 A
解析 设第n圈栽种花卉an株，
则an-an-1=2(n-1)，2≤n≤8，n∈N*，
又a1=1，a2=3，
则a8-a7=14，a7-a6=12，a6-a5=10，…，a2-a1=2，
所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1)+a1
=14+12+10+…+2+1
=(14+2)×72+1=57.
[规律方法] 数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型：
(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.
(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an+1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.
跟踪演练1 (2025·龙岩模拟)一个弹力球从1 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的45处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5 m，则n的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
解析 设小球第一次落地时经过的路程为a1，第n-1次落地到第n次落地经过的路程为an(n≥2)，
由题意，a1=1，数列{an}从第二项起构成以首项为a2=1×45×2=85，公比为45的等比数列，
则第n次着地后经过的路程为
a1+a2+…+an=1+851-45n-11-45≥5，
即45n-1≤12，
结合选项，当n=4时，453>12，
当n=5时，4540，则实数A的取值范围是( )
A.-23，12B.-23，12
C.-12，23D.-12，23
答案 B
解析 由a1=1，S2=a1+a2=12，
故a2=-12，所以公比q=-12，
故Sn=1--12n1--12=231--12n，
由Sn-(-1)n·A>0可得231--12n-(-1)n·A>0，
当n为奇数时，则231+12n+A>0，故A>-231+12n，
由于f(n)=-231+12n，n∈N*单调递增，且f(n)0，故A