2026届高三数学二轮复习讲义：知识必备　7.解析几何（含解析）

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1.直线的倾斜角与斜率
设直线过点(x1，y1)，(x2，y2)，倾斜角为α，斜率为k，
(1)k=tan α=y2-y1x2-x1α≠π2,x1≠x2；
(2)①α∈0,π2时，α越大，直线越陡，k为非负值且越大；
②α∈π2,π时，α越大，直线越缓，k为负值且越大；
③k越大，直线越靠近y轴，直线越陡；k越小，直线越靠近x轴，直线越缓.
2.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y-y0=k(x-x0)(直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
(2)斜截式：y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
(3)两点式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).
(4)截距式：xa+yb=1(a，b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).
(5)一般式：Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0).
3.直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
①两直线平行：l1∥l2⇔k1=k2.
②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1k2=-1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
(2)直线的一般式方程是Ax+By+C=0.
①若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2⇔A1B2-B1A2=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).
②若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
(3)平行和垂直直线的设法
若l1：Ax+By+C=0，l1∥l2，l1⊥l3，则可设l2：Ax+By+D=0(D≠C)，l3：Bx-Ay+E=0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
4.三种距离公式
(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离
|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
(2)点到直线的距离d=Ax0+By0+CA2+B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)).
(3)两平行线间的距离d=|C2-C1|A2+B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)).
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等.
5.对称问题
(1)点(x1，y1)关于点(x0，y0)的对称点
设对称点为(x2，y2)，则x1+x22=x0,y1+y22=y0,即x2=2x0-x1,y2=2y0-y1,得到对称点(2x0-x1，2y0-y1).
(2)点(x1，y1)关于直线的对称点
①对称直线为x=x0，设对称点为(x2，y2)，则x2=2x0-x1,y2=y1,得到对称点(2x0-x1，y1)；
②对称直线为y=y0，设对称点为(x2，y2)，则x2=x1,y2=2y0-y1,得到对称点(x1，2y0-y1)；
③对称直线为Ax+By+C=0，设对称点为(x2，y2)，
则A·x1+x22+B·y1+y22+C=0,y2-y1x2-x1·-AB=-1,可解出x2，y2，得到对称点(x2，y2).
(3)直线Ax+By+C=0关于点(x0，y0)对称的直线
设对称直线为Ax+By+D=0(D≠C)，则Ax0+By0+CA2+B2=Ax0+By0+DA2+B2，可解出D，得到对称直线方程.
(4)直线l1：A1x+B1y+C1=0关于直线l0：A0x+B0y+C0=0对称的直线
①若l1∥l0，设对称直线为A1x+B1y+D=0(D≠C1)，则C1-C0A12+B12=D-C0A12+B12，可解出D，得到对称直线方程；
②若l1与l0不平行，设直线l1和l0的交点为(x0，y0)，联立A1x0+B1y0+C1=0,A0x0+B0y0+C0=0,可解出x0，y0，得到交点(x0，y0)，
设直线l1关于直线l0的对称直线l2为A2x+B2y+C2=0，在直线l1上任取一点(x1，y1)(异于(x0，y0))，
设其关于直线l0的对称点为(x2，y2)，则A0·x1+x22+B0·y1+y22+C0=0,y2-y1x2-x1·-A0B0=-1,可解出x2，y2，得到对称点(x2，y2)，
利用两点式y-y0y2-y0=x-x0x2-x0得到对称直线方程.
6.圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
7.直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.
(2)弦长的求解方法
根据半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2=d2+l24(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l=2r2-d2.
(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含.
(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程.
8.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
9.圆、椭圆、双曲线、抛物线的弦长公式
设直线l：y=kx+b与曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
联立直线与曲线的方程，先消去一个未知数，利用根与系数的关系求x1+x2与x1x2.
①普通弦长公式：AB=1+k2·x2-x1=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2；
②抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦长公式：AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.
10.点差法(用于处理普通弦的中点问题)
设直线l：y=kx+b与曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，M(x0，y0)为弦的中点，
①曲线为圆
将点A，B代入圆的方程得x12+y12=r2,x22+y22=r2,两式相减得y2-y1x2-x1=-x2+x1y2+y1，即k=-x0y0.
②曲线为椭圆
将点A，B代入椭圆的方程得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得y2-y1x2-x1=-b2a2·x2+x1y2+y1，即k=-b2a2·x0y0.
③曲线为双曲线
将点A，B代入双曲线的方程得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减得y2-y1x2-x1=b2a2·x2+x1y2+y1，即k=b2a2·x0y0.
④曲线为抛物线
将点A，B代入抛物线的方程得y12=2px1,y22=2px2,两式相减得y2-y1x2-x1=2py2+y1，即k=py0.
1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.
2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa+ya=1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y-y0=k(x-x0)等.
3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合.
4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1-C2|A2+B2，导致错解.
5.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0|F1F2|)
||PF1|-|PF2||=2a
(00)
x2a2-y2b2=1
(a>0，b>0)
y2=2px
(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a，0)，
(0，±b)
(±a，0)
(0，0)
对称
性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴
对称
焦点
(±c，0)
p2,0
轴
长轴长2a，
短轴长2b
实轴长2a，
虚轴长2b
离心率
e=ca
=1-b2a2
(0