专题八 平面解析几何—2026年高考数学二轮复习讲练含答案

这是一份专题八 平面解析几何—2026年高考数学二轮复习讲练含答案，共13页。试卷主要包含了直线的有关问题，圆的三种方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中最值问题，圆锥曲线中的范围问题，圆锥曲线中的定点，定值问题，已知圆，直线，则，已知曲线，，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
②已知直线过点，则直线的斜率为.
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若，
则．
②点到直线的距离：点到直线的距离．
③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为则两平行线的距离.
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长．
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：．
②斜截式：．
③两点式：．
④截距式：．
⑤一般式： (A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：．
(ⅱ)两直线垂直：．
②当两直线方程分别为时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合．
(ⅱ)．
2.圆的三种方程
①圆的标准方程：．
②圆的一般方程：．
③圆的直径式方程： (圆的直径的两端点是)．
3.直线与圆的位置关系
（1）判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：相交，相离，相切．
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．
（2）两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
易错易混
已知两点坐标求斜率，若点的坐标中有参数，容易忽略直线斜率不存在的情况
设直线方程解题时忽略斜率不存在的情况
平行线间的距离公式使用不当致误
忽视直线点斜式和斜截式方程的适用范围
忽视直线截距式方程适用范围
忽视圆的一般式方程适用条件
求轨迹方程时易忽略隐含条件而致误
求过定点的圆的切线方程不先判断定点是在圆上还是在圆外致误
（二）圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：．
(2)双曲线：．
(3)抛物线：，点F不在直线l上，于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：；离心率为．
②在双曲线中；离心率为．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线的渐近线方程为；焦点坐标．
②双曲线的渐近线方程为，焦点坐标．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
②抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
3.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点时，
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线焦点F的弦，若，
则，；
②弦长 (为弦AB的倾斜角)；③；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
（三）直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
2．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：
(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．
(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．
6.圆锥曲线中的定点，定值问题
定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
易错易混
忽略圆锥曲线定义中的隐含条件致错
混淆圆锥曲线的离心率的取值范围致错
求与抛物线有关的问题时忽视p的几何意义
忽略椭圆或双曲线的焦点所在位置的讨论致错
误判直线与圆锥曲线位置关系
实战演练
1.已知，，，则过点C且与线段平行的直线方程为( )
A.B.C.D.
2.已知直线，直线，则直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则( )
A.B.1C.D.
4.已知动圆C与圆外切，同时与圆内切，则动圆C的圆心轨迹方程为( )
A.B.C.D.
5.设直线与双曲线相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线，的斜率分别为，若C的离心率为，则( )
A.3B.1C.2D.
6.如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.B.C.D.
7.已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为( )
A.pB.C.D.
8.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是( )
A.B.C.D.
9.（多选）已知圆，直线，则( )
A.当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
B.圆C与圆恰有三条公切线
C.直线l恒过定点
D.直线l与圆C有两个交点
10.（多选）已知曲线，，则下列说法正确的是( )
A.若，则曲线C表示两条直线
B.若，则曲线C是椭圆
C.若，则曲线C是双曲线
D.若，则曲线C的离心率为
11.（多选）双曲线的左、右焦点分别为，，P，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则( )
A.点P必落在第四象限
B.
C.
D.是双曲线C的一条渐近线
12.（多选）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于，（A在第一象限）两点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线方程为
B.弦长为4
C.
D.过点A作准线的垂线，垂足为，则，O，B三点共线
13.若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为________.
14.已知直线被动圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为__________.
15.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与C的左，右两支分别交于A，B两点，若，，则__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，，，所以，则所求直线的斜率为，所以过点C且与线段平行的直线方程为，即.故选：B
2.答案：D
解析：因为直线的斜率，且，可知直线的斜率，所以的倾斜角为.故选：D.
3.答案：C
解析：圆化为标准方程为，则圆心为，半径，由题意得，解得.故选：C.
4.答案：A
解析：设圆圆心且与圆C切于点P，圆圆心与圆C切于点Q，由题意得，，其中，所以，由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以，为焦点的椭圆，设，则，，解得：，，故动圆圆心C的轨迹方程为.故选：A
5.答案：B
解析：由题意可知点A，B关于原点对称，设，，，则有，，A，B，P都在双曲线上，有，，两式相减得，则，得，即，又由，则.故选：.
6.答案：B
解析：以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h（单位：cm），
则，，于是，解得，故该抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B
7.答案：B
解析：
如图，设弦的中点为M，抛物线C的准线为，焦点为F，过点A作于点E，过点M作于点H，过点B作于点G，则，连接，，则有，当直线过点F时取等号，所以，则，即弦的中点到y轴距离的最小值为.故选：B.
8.答案：D
解析：由双曲线方程知，，则其渐近线方程为.观察选项知，四个点均在双曲线外，点A，B分别在双曲线的两支上，.设，，则作差得，则.
对于A，则，，A不满足题意.
对于B，则，，B不满足题意.
对于C，则，C不满足题意.
对于D，则，则直线AB的方程为，即.由消去y，得，，且，直线AB与双曲线的两支分别相交，D满足题意.故选D.
9.答案：BCD
解析：对于A，当时，直线，圆心到直线的距离为，
而圆C半径为6，因此只有4个点到直线l的距离等于1，故A错误；
对于B，圆的方程化为，其圆心为，半径为4，两圆的圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，故B正确；
对于C，直线l的方程为，由，，直线l恒过定点，故C正确；
对于D，，即定点在圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交点，故D正确；故选：BCD.
10.答案：ACD
解析：若，则，此时曲线表示两条直线，故A正确；
因为，所以，若，则曲线可化为，当时，曲线C表示圆，当时，曲线C表示椭圆，故B错误；
因为，所以，若，则曲线C表示双曲线，故C正确；
若，又，所以，，则曲线C为，故曲线C为等轴双曲线，离心率为，故D正确.故选ACD.
11.答案：AC
解析：
对于A，如图，直线的斜率为2，且是直角三角形，故点P必落在第四象限，故A正确；
对于B，由题可知，，设，则，则，故，故В错误；
对于C，如B项所设，得，则，，，即，由双曲线的定义可得：，则，故，即C正确；
对于D，由上分析，双曲线的方程为，所以双曲线C的渐近线方程为，故D错误.故选：AC.
12.答案：ACD
解析：抛物线的焦点F的坐标为，因为直线过抛物线的焦点F，所以，故，所以抛物线的方程为，A正确；
联立，消x得，方程的判别式，因为直线与抛物线相交于，（A在第一象限）两点，故，为方程的两根，且，所以，，C正确；
所以，B错误；
因为抛物线的准线方程为，所以的坐标为，点O的坐标为，所以，，又，所以，所以，O，B三点共线，D正确；
故选：ACD.
13.答案：
解析：由得，，圆心，半径，所以，又，所以圆心C到直线l的距离为，解得，
故答案为：.
14.答案：
解析：，即，由解得即直线l过定点，动圆的圆心为，半径为，动圆圆心C在定直线上，要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值，则，故l的斜率为2，故直线l的方程为，即.
15.答案：
解析：由双曲线定义：，即，，
又，，∴，，故答案为：.
圆心距与两圆半径的关系
两圆的位置关系
内含
内切
相交
外切
外离