专题八 平面解析几何——高考数学二轮复习专题进阶训练

这是一份专题八 平面解析几何——高考数学二轮复习专题进阶训练，共26页。试卷主要包含了设，则直线与圆的位置关系为，已知双曲线过点，则等内容，欢迎下载使用。
基础题
1.已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
2.已知椭圆上一点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A.6B.3C.4D.2
3.设，则直线与圆的位置关系为( )
A.相离B.相切C.相交或相切D.相交
4.已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则( )
A.1B.2C.4D.8
5.已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为( )
A.5B.6C.D.
6.（多选）已知点在抛物线（）上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为B.抛物线的焦点坐标为
C.点B的坐标为D.的面积为8
7.（多选）已知双曲线过点，则( )
A.双曲线C的焦距为4
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为
D.直线与双曲线C有2个公共点
8.设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积_________.
9.已知圆，圆，直线l分别与圆和圆相切于M，N两点，则线段MN的长度为__________.
10.已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且与直线相切.
（1）求椭圆C的方程.
（2）若斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由.
中等题
11.若直线是与的公切线，则实数r的值为( )
A.B.C.D.
12.已知椭圆的离心率为,,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )
A.B.C.D.
13.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则( )
A.B.C.D.
14.如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A.B.1C.2D.
15.已知，为双曲线，的两个焦点，P为双曲线上一点，且，则此双曲线离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
16.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A.C的方程为
B.在C上存在点M到点的距离为4
C.C上的点到直线的最大距离为6
D.过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为
17.（多选）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是( )
A.B.椭圆C的离心率为
C.直线l的方程为D.的周长为
18.已知抛物线的焦点为F，O为原点，点M是C准线上一动点，点A在C上，且，则的最小值为__________.
19.已知双曲线，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段AB的中点，则t的取值范围是__________.
20.生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
拓展题
21.已知点，，，动点P，Q满足，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
22.已知抛物线，点P在C上，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为1，则( )
A.1B.C.1或D.或
23.双曲线（，）的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
24.在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是( )
A.（，）B.（，）
C.（，）D.（，）
25.已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为( )
A.16B.8C.4D.2
26.（多选）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则( )
A.椭圆的离心率是
B.线段AB长度的取值范围是
C.面积的最大值是
D.的周长存在最大值
27.（多选）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是( )
A.的最大值为
B.若点，则的最小值为5
C.
D.若点C在抛物线准线上的射影为D，则存在，使得
28.已知点P，Q分别在直线与直线上，且.若点，，则的最小值为__________.
29.已知椭圆的右焦点为F，过点F有两条互相垂直的直线，，与椭圆C相交于点A，B，与椭圆C相交于点C，D，则下列叙述正确的是__________.
①存在直线，，使得的值为7；
②存在直线，，使得的值为；
③弦长存在最大值，且最大值为4；
④弦长不存在最小值.
30.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面（，，），这说明椭球完全包含在由平面，，所围成的长方体内，其中a，b，c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
（1）已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求面积的最小值.
（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由，得，又，所以，所以C的渐近线方程为，即.
2.答案：A
解析：因为椭圆方程为，所以，即.设上焦点为，下焦点为，则，因为，所以，即点P到下焦点的距离为6.
3.答案：C
解析：因为，所以，即直线恒过定点.因为点恰在圆上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.故选C.
4.答案：B
解析：因为抛物线C的标准方程为，所以，所以，准线方程为.因为是C上一点，，，所以，解得.故选B.
5.答案：D
解析：依题意，，，设椭圆C的左焦点为，圆的圆心为，半径为1，，当P，，Q三点共线，且在P，Q之间时，等号成立.而，所以，当P，，M，Q四点共线，且在P，Q之间，Q是的延长线与圆M的交点时，等号成立.故选D.
6.答案：ABD
解析：将的坐标代入抛物线方程，得，因此抛物线的方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确.易知轴，所以，故C错误.易得，所以，故D正确.选ABD.
7.答案：AC
解析：A项，将代入可解得，设双曲线C的半焦距为c，则，即，焦距为，故A项正确；
B项，双曲线C的离心率，故B项错误；
C项，双曲线C的渐近线方程为，故C项正确；
D项，联立消去y，整理得，，判别式，即直线与双曲线C没有公共点，故D项错误.
8.答案：4
解析：由，可得：，于是拋物线的方程为，所以，则，所以.
9.答案：
解析：圆，圆心，半径.圆，圆心，半径.圆心距.因为，所以两圆相交.如图，连接，，作，垂足为点P，则.
10.答案：（1）
（2）直线l过定点
解析：（1），所以，
所以椭圆C的方程为，
由得，
由题意可得，
解得，则，所以椭圆C的方程为.
（2）直线l过定点，理由如下.
由（1）得，设直线l的方程为，，.
由得，
由，得，且，.
由，得，
即，
即，
整理得，解得或（舍去）.
当时，满足，
所以直线l的方程为，则直线l过定点.
11.答案：A
解析：已知的圆心，半径是r；的圆心是，半径是2.由题知直线是和的公切线，当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以，由，解得，则有.故选A.
12.答案：B
解析：因为离心率,解得,,
,分别为C的左右顶点,则,,
为上顶点,所以.
所以,,因为
所以,将代入,解得,,
故椭圆的方程为.
故选：B.
13.答案：B
解析：为等边三角形，，
，，，
中，由余弦定理有，
，，.
故选:B.
14.答案：B
解析：如图，设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径.抛物线上点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1.
15.答案：C
解析：设，，，由，可得，
显然，整理可得
由，
得，
解得.由双曲线的定义可知，
则有，整理可得，
化简可得，因为，且，
所以，可得或，
所以或，所以，
解得.故选C.
16.答案：ACD
解析：设，则，
化简得，选项A正确；
将圆C的方程化为标准方程得，则圆心为，半径为4，易知点在圆C的外部，则圆上的点到点的最小距离为，则在圆C上不存在点M到点的距离为4，选项B错误；C上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，即，选项C正确；
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即，解得，选项D正确.故选ACD.
17.答案：BCD
解析：对于A，因为椭圆的焦点为，，所以椭圆的焦点在y轴上，所以，得，所以A错误.
对于B，由选项A可知，得，所以离心率，所以B正确.
对于C，设，，则两式相减得，即.
因为为线段MN的中点，所以，，所以，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，经检验符合题意，所以C正确.
对于D，因为直线过点，所以的周长为，所以D正确.故选BCD.
18.答案：
解析：因为，所以，所以，所以，不妨取.如图，作A关于准线的对称点B，则，所以，当且仅当O，M，B三点共线时取等号，所以的最小值为.
19.答案：
解析：设，，若点P为线段AB的中点，则，.又两式相减并化简，得，即直线l的斜率.设直线l的方程为，由可得，因为l与双曲线E有两个不同的交点，所以且，又，化简得，解得或.所以若不存在直线l使得P是线段AB的中点，则t的取值范围为.
20.答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为.
联立得，
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由，得，
则直线BM的方程为.
令，则
.
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.
21.答案：B
解析：设，则，，由，可知，即.因此点P在以原点O为圆心，2为半径的圆上，同理可得点Q也在以原点O为圆心，2为半径的圆上.又因为，所以当P和Q重合，且C，O，P三点共线时，取得最值，因此，.故选B.
22.答案：B
解析：不妨设，，由得，由题可知直线与抛物线C无交点，否则若直线和抛物线有交点Q时，当P趋近于Q时，面积将趋近于0，故，解得.如图，当P恰好为斜率为2的直线和抛物线的切点时，的面积最小.
设过点P的切线方程为，由得，由，得，则.又，，所以点P到直线AB的距离为，即，解得（舍去）.
23.答案：D
解析：不妨取渐近线，此时直线的方程为，与联立并解得即.因为直线与渐近线垂直，所以的长度即为点到直线（即）的距离，由点到直线的距离公式得，所以.因为，，且直线的斜率为，所以，化简得，又，，所以，整理得，即，解得.所以双曲线的方程为，故选D.
24.答案：C
解析：取其中一个P点如图所示，过点P向x轴作垂线，交x轴于点H，与AB的交点为R，直线AP与的延长线交于点Q，过点Q作轴于点K.设，.由图可得，，，得.①又，，，，，得，得，即，整理得（，）.
25.答案：C
解析：当P点坐标为时，此时切线l的斜率不存在，
不妨设，此时中令得：，
所以不妨令，，
下面证明椭圆
在处的切线方程为（二级结论）
理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，
化简得：，
所以，
把代入，得：，
于是则椭圆的切线斜率为，
所以椭圆的切线方程为，
整理得：，
方程两边同除以，得到，当切线斜率不存在时，即此时，
故切线方程为，中令，，
可得，故当切线斜率不存在，切线也满足，
综上：椭圆在处的切线方程为，
故过，的两切线分别为和，
联立可得：，此时，
同理可得时，，
当切线l的斜率存在时，设为，
因为与相切，
所以，即，与联立得：，
设，，
则过，的椭圆的切线方程为和，
联立得：，，
则，
综上：的最大值为4
26.答案：ABC
解析：由题意可知，半圆的半径，则半圆方程为.设椭圆方程为，则，，则，所以半椭圆的方程为，离心率为，故A正确.当时，，时，，又，所以线段AB长度的取值范围是，故B正确.，设点，，则，，即，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确.的周长为，时，最大，但，所以的周长不存在最大值，故D错误.
27.答案：ACD
解析：对于A，根据题意画图，如图所示，由图知，当且仅当直线MB与抛物线相切时，取得最大值.
设直线MB的方程为，联立得，由，得，此时直线MB的斜率为，，因此的最大值为，故A正确.
对于B，作点在准线上的射影为，设点P到准线的距离为d，则，当且仅当，P，A三点共线时等号成立，故B错误.
对于C，由题意知，，，且直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，联立直线l与抛物线方程整理得，，
则，，
所以，，
则
，
故直线MB，MC的倾斜角互补，所以，故C正确.
对于D，由题意及选项C知，，，则，，由，知，即B，O，D三点在同一条直线上，所以存在，使得，故D正确.故选ACD.
28.答案：
解析：由题知，如图，过点B作直线，则，直线，过点P作直线，与直线l交于点C，则四边形PCBQ为平行四边形，故，且B到直线的距离等于C到直线的距离.设，则，解得或（舍），所以.又，且（定值），故只需求出的最小值即可.，当且仅当A，P，C三点共线时取等号.故的最小值为.
29.答案：①②③
解析：当直线，的斜率一个不存在，一个为零时，，故①正确.易得.当直线AB的斜率存在且不等于零时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为.将其代入椭圆方程，并整理，得.设，，则，.根据弦长公式得.以代换k，得.当时，，所以存在直线，，使得的值为，故②正确.当时，易得弦长取得最大值，且最大值为4，故③正确.当直线的斜率不存在时，弦AB为椭圆的通径，其值为最小值，故④错误.所以叙述正确的是①②③.
30.答案：（1）
（2）
解析：（1）椭圆E的标准方程为，则.
当直线l的倾斜角为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直线l的倾斜角不为0.
设直线，，.
由得，
则，，，
所以
.
又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，
由得，
代入①得，所以.
因为点M到直线l的距离，
所以.
设，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以当，即时，的面积最小，最小值是.
（2）椭圆E的焦点在x轴上，长半轴长为，短半轴长为1，椭球由椭圆E及其内部绕x轴旋转而成旋转体.
构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体.
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为r，
则，即，所以新几何体的截面面积为.
把代入，得，解得，
所以半椭球的截面面积为.
由祖暅原理，得椭球的体积.