2021年高考数学二轮专题复习《平面解析几何》二(含答案)

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2021年高考数学二轮专题复习《平面解析几何》二1.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.(1)求线段OQ的长;(2)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.               2.已知平面上的动点R(x,y)及两定点A(-2, 0),B(2,0),直线RA,RB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP,MQ⊥x轴.若直线MN和直线QP交于点S(4,0),那么四边形MNPQ的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.             3.已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.           4.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为F1、F2,,直线y=kx+m(k>0)交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M,N两点（M,N不重合）,且|CM|=|DN|.（1）求椭圆E的离心率；（2）若m>0，设直线AD、BC的斜率分别为，求的取值范围.   5.已知椭圆E：过点(0，1)且离心率.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线与两定直线和分别交于P,Q两点．若直线总与椭圆E有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．          6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，且y1y2=-4.（1）求拋物线方程；（2）设点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.           7.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.             8.已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x=－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点.证明：直线OD平分线段MN.             
0.答案解析1.解:(1)由抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为得2+=,所以n=2,故抛物线方程为y2=2x,P(2,2).所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=,则y′=.故曲线C在点P处的切线斜率k==,切线方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.令y=0得x=-2,所以点Q(-2,0),故线段OQ的长为2.(2)由题意知l1:x=-2,因为l2与l1相交,所以m≠0,将x=-2代入x=my+b,得y=-,故E(-2,-),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2my-2b=0,则y1+y2=2m,y1y2=-2b,直线PA的斜率为==,同理直线PB的斜率为,直线PE的斜率为.因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,所以+=2×,即=.因为l2不经过点Q,所以b≠-2.所以2m-b+2=2m,即b=2.故l2:x=my+2,即l2恒过定点(2,0).2.解:(1)由题知x≠±2,且k1=,k2=,则·=-,整理得,曲线C的方程为+=1(y≠0).(2)设MP与x轴交于点D(t,0),则直线MP的方程为x=my+t(m≠0),设M(x1,y1),P(x2,y2),由对称性知Q(x1,-y1),N(x2,-y2),联立可得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,所以Δ=48(3m2+4-t2)>0,由M,N,S三点共线知kMS=kNS,即=,y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理,得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以=0,即24m(t-1)=0,t=1.所以直线MP过定点D(1,0),同理可得直线NQ也过定点D(1,0)(或由对称性判断),即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0).3.解：（1）设椭圆C的方程为，，，，，椭圆C的方程为；（2）取，得，，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，，由对称性可知，若点S在同一条直线上，则直线只能为l：.以下证明对于任意的m，直线与的交点S均在直线l：上，事实上，由，得，记，，则，，记与l交于点，由，得，设与交于点，由，得，，，即与重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：上.4.解：5.解：  6.解：  7.(2)①证明:设P(m,0.5m2)(m>0)，由x2=2y，可得y′=x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－0.5m2=m(x－m).即y=mx－0.5m2. 8.解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为＋=1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF==－，当n=0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN==.∵点M，N在椭圆上，∴整理得：＋=0，又2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，∴=－，直线OP的斜率为kOP=－，∵直线OD的斜率为kOD=－，∴直线OD平分线段MN.