专题五 数列—2026年高考数学二轮复习讲练含答案

这是一份专题五 数列—2026年高考数学二轮复习讲练含答案，共12页。试卷主要包含了等差数列，等比数列，数列的前n项和与通项之间的关系，重要结论，等差数列的判断与证明，等差数列的性质，已知数列满足，的前n项和为，则等内容，欢迎下载使用。
递推公式：表示数列相邻两项或多项之间的关系的式子.
表示：列表法，图像法，解析法
按项数分类：
有穷数列：项数有限
无穷数列：项数无限
按项与项间的大小关系分类：
递增数列：
递减数列：
常数列：
摆动数列：从第二项起，某些项大于其前一项，某些项小于其前一项
（二）等差（比）数列的基本运算
1.等差数列
(1)等差数列通项公式：．
(2)等差数列前n项和公式：．
(3)等差中项公式：.
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：.
(2)等比数列前n项和公式：
(3)等比中项公式：.
3.数列的前n项和与通项之间的关系
4.重要结论
通项公式的推广：
等差数列中，；
等比数列中，.
5.等差（比）数列的判断与证明
（1）若均是等差数列，是的前n项和，则，仍为等差数列，其中m，k为常数．
（2）若均是等比数列，则 (m为常数)，仍为等比数列．
（3）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，…成等比数列，且公比为．
（4）等比数列中连续k项的和成等比数列，即，…成等比数列，其公比为．
等差数列中连续k项的和成等差数列，即，…成等差数列，公差为．
（5）若分别为等差数列的前2n－1项的和，则．
6.等差（比）数列的性质
(1)增减性：
①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．
②等比数列中，若且或且，则数列为递增数列；若且或且，则数列为递减数列．
(2)等差数列中，为前n项和，…仍成等差数列；
等比数列中，为前n项和．，…一般仍成等比数列．
（三）数列求和及综合应用
1.求数列的通项公式
(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
(2)已知与的关系，利用求．
(3)累加法：数列递推关系形如，其中数列前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
(4)累乘法：数列递推关系形如，其中数列前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
(5)构造法：①递推关系形如 (p，q为常数)可化为的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；
②递推关系形如 (p为非零常数)可化为的形式．
2.分组求和法
分组求和法是解决通项公式可以写成形式的数列求和问题的方法，其中与是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
3．裂项相消法
将数列的通项分成两个代数式子的差，即的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如 (其中是公差且各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．
4．错位相减法
形如 (其中为等差数列，为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
5．倒序求和法
距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
(1)常见的拆项公式(其中n∈N*)
①．
②．
③．
④若等差数列{an}的公差为d，则．
⑤．
⑥．
⑦．
(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如
；
；
．
数列求和及综合应用
忽视n为正整数的特点导致求解最值出现错误
用错位相减求和时项数处理不当致误
利用求通项公式时忽视验证的情况致误
忽视数列中奇数项或偶数项的符号致误
应用等比数列求和公式时忽视q是否为1致误
应用累加法和累乘法求通项公式时忽视验证的情况致误
实战演练
1.已知等差数列的首项为1，公差不为0，且，，成等比数列，则等于( )
A.-11B.-13C.-24D.8
2.等比数列的前n项和为，且，，则( )
A.24B.28C.36D.48
3.等差数列的前n项和为，，，则的最大值为( )
A.60B.45C.30D.15
4.在等比数列中，，，则等于( )
A.或B.C.D.或
5.定义在的增函数满足：，且，.已知数列的前n项和为，则使得成立的n的最大值是( )
A.8B.9C.10D.11
6.在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于( )
A.10B.100C.110D.120
7.已知数列满足，的前n项和为，则( )
A.12B.6C.3D.2
8.将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则( )
A.B.C.D.
9.（多选）已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若和都为递增数列，则
10.（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是( )
A.B.
C.有最大值D.当时，n的最大值为21
11.（多选）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.的最大值为D.没有最大值
12.（多选）数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.若，则数列的前5项和最大
B.若等比数列是递减数列，则公比q满足
C.已知等差数列的前n项和为，若，则
D.已知为等差数列，则数列也是等差数列
13.已知数列满足.若数列的前三项，，依次构成等差数列，则________.
14.已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，，________.
15.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是________（填序号）.
①；②；③的最大值为；④的最大值为
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为等差数列的首项为1，公差不为0，且，，成等比数列，设的公差为d，则，解得，所以.故选：B
2.答案：B
解析：设公比为q，则，所以，所以.故选：B
3.答案：B
解析：因为，，则，则，则，令，解得，因为是等差数列，所以当，时，，，当，时，，所以的最大值为.故选：B.
4.答案：A
解析：由，，得和为方程的两个根，解得，或，，设等比数列的公比为q，所以或.故选：A.
5.答案：B
解析：法一：，可令，又，则，
，.，，，.，，，.
法二：，，由题可知，；
令，，，；令，，，；，，…，，
，.，，，.故选：B.
6.答案：B
解析：因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，则，则，又因为，所以，所以，所以.
故选：B.
7.答案：B
解析：，数列是以6为公差的等差数列，，数列是以3为公差的等差数列，.故选：B.
8.答案：A
解析：数列是以1为首项的奇数列，即1，3，5，7，9，11，13，…，数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即1，4，7，10，13，16，19，…，
故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为1，公差为6的等差数列，即，.故选：A.
9.答案：BC
解析：若的公差为d，则：A：由题设，故，则，错；
B：，对；
C：由，即，而，即，对；
D：由题设，又是递增数列，则，
所以，即对，，而的符号无法确定，错.故选：BC.
10.答案：BC
解析：设公差为d，则由题可知，解得，，
故B正确；
，，故A错误；
，，故根据等差数列前n项和的性质可知有最大值，故C正确；
＞0，则，故的最大值为20，故D错误.故选：BC.
11.答案：ABD
解析：因为，所以或，即或，若，又，，又，，所以，符合题意，
若，又，则，又，则，与矛盾，不符合题意，所以没有最大值，所以A、D正确，
因为前2025项均小于1，从2026项起均大于1，所以无最大值，故C错误；
又由，所以B正确.故选：ABD.
12.答案：ACD
解析：选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故A正确；
选项B，当，时，等比数列也是递减数列，故B错误；
选项C，，若，则，故C正确；
选项D，若为等差数列，则，，则(为常数)，数列也是等差数列，故D正确.故选：ACD.
13.答案：
解析：因为，则，又因为，，依次构成等差数列，则，即，解得.故答案为：.
14.答案：/
解析：由题等比数列的公比为且，所以，可得，
由，则，故，所以.故答案为：
15.答案：①②③
解析：因为，，，所以，，所以，故①正确.
，故②正确；
又，，所以的最大值为，故③正确.
因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误；故答案为：①②③