高考数学二轮复习 专题05 平面解析几何(含解析)

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专题05 平面解析几何
1．【2022年全国甲卷】已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】
解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(       )
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】
由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
4．【2022年全国乙卷】(多选)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为(       )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率

若均在左支上，

同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
5．【2022年北京】若直线是圆的一条对称轴，则(       )
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
6．【2022年新高考1卷】(多选)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则(       )
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】
将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
7．【2022年新高考2卷】(多选)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则(       )
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】

对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
8．【2022年全国甲卷】设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
9．【2022年全国甲卷】记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2(满足皆可)
【解析】
【分析】
根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】
解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2(满足皆可)
10．【2022年全国甲卷】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】
解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或(舍去)．
故答案为：．
11．【2022年全国乙卷】过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】
【分析】
设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
12．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.

13．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】
利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】
∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

14．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】
解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
15．【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或(舍去)，
又，即，解得或(舍去)，
所以直线，即；

故答案为：
16．【2022年北京】已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】
解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
17．【2022年浙江】已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】
过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．

18．【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的定义可得，即可得解；
(2)设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
(1)
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
(2)
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.
19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)将给定点代入设出的方程求解即可；
(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
(1)
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
(2)
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】
求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
20．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
(2)根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．
(1)
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
(2)
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
因为，所以，即，
即，解得，
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以， ，
同理可得，， ．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．
21．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
(2)先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
(1)
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
(2)
由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
22．【2022年北京】已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
(2)首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
(1)
解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
(2)
解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以



，
所以，
即
即
即
整理得，解得
23．【2022年浙江】如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出；
(2)设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值．
(1)
设是椭圆上任意一点,,则
       ，当且仅当时取等号，故的最大值是.
(2)
设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则


，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
【点睛】
本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．

1．(2022·全国·模拟预测)设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．
【详解】
设，，因为，，
所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．
故选：C．
2．(2022·福建·三明一中模拟预测)已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是(       )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．
【详解】
由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，
切点分别为A，B，使得，则，
在中，，
所以点 在圆上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，
，
∴，
∴.
故选：D.
3．(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线(，)一个虚轴的顶点为，右焦点为，分别以，为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于，两点，若，则该渐近线的斜率为(       )
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据渐近线倾斜角的正切值表达出，再化简得到求解即可
【详解】
由题意，如图，设，则因为该渐近线的斜率为，故，，，又因为圆与渐近线相切，故，，故，,所以，即，所以，即，故，即，故该渐近线的斜率为

故选：A
4．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为(       )
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.
【详解】
记的内切圆圆心为C，边上的切点分别为M，N，E，

则C，E横坐标相等，则，
由，即，得，即，记C的横坐标为，则，
于是，得，同理的内心D的横坐标也为a，
则有轴，由直线的倾斜角为，则，，
在中，，可得，
在中，，可得，
可得．
故选：B
5．(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是(       )
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】
解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
6．(2022·全国·模拟预测(理))已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意求得a,b,c,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.
【详解】
由题意可得 ，又，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，

结合双曲线定义可得，
如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，
即Q在M位置时，取最小值，
此时直线方程为 ，联立，
解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，
故，
故选：B
7．(2022·上海市七宝中学模拟预测)若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：
①；   
②；
③双曲线与双曲线一定没有公共点；   
④；
其中所有正确的结论序号是(       )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断；对于②，举反例可说明；对于③，根据可推得，继而推得，可判断双曲线与双曲线一定没有公共点；对于④，举反例可判断.
【详解】
对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，
∴，即，故①正确；
对于②：若，，，，则，故②错误；
对于③：∵，∴，∴ ，即，
即，双曲线与双曲线一定没有公共点，故③正确；
对于④：∵，∴，
∵且，∴ ，
若，，，，则，故④错误.
故选：B
8．(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测(理))已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得、，由双曲线定义可构造方程得到；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围.
【详解】
在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
9．(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线定义可推导得，求得；在中，利用余弦定理可求得，进而得到，由可求得离心率.
【详解】

，，
又，，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，即，，
双曲线的离心率.
故选：B.
10．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．
【详解】
法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
11．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(文))已知椭圆的两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点的直线交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点(不与重合)，是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义可求得的值，根据椭圆的离心率求得的值，再求出的值，即可得出椭圆的方程；
(2)分析可知，直线不与轴垂直，分两种情况讨论，一是直线与轴重合，二是直线的斜率存在且不为零，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出、，即可求得的值.
(1)
解：由椭圆的定义可得，则，因为，，则，
因此，椭圆的方程为.
(2)
解：若直线与轴垂直，此时，线段的垂直平分线为轴，不合乎题意；
若直线与轴重合，此时，线段的垂直平分线为轴，则点与坐标原点重合，
此时，；
若直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
所以，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，
在直线方程中，令可得，
故点，所以，，
由弦长公式可得，
因此，.
综上所述，存在，使得恒成立.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
12．(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))已知抛物线C：，圆O：.
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求的最小值及相应p的值.
【答案】(1)
(2)最小值为，
【解析】
【分析】
(1)由得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出，最后由抛物线定义得出；
(2)由导数的几何意义得出切线l的方程，由点到切线的距离等于结合勾股定理得出，再由基本不等式得出的最小值及相应p的值.
(1)
由题意，得，从而C：.
解方程组，整理得，，解得
所以.
(2)
设，由得，故切线l的方程为，
注意到，故整理得
由且，即点到切线的距离等于得
所以，
整理，得且，
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为，此时.
13．(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能，定点为(0，)
【解析】
【分析】
(1)由条件列方程求可得椭圆方程；
(2)联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.
(1)
由已知可设椭圆方程为，
则，，
又
所以，
故椭圆C的标准方程为
(2)
设AB方程为，由，得，

设，则..
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，
由得，则直线BM方程为，
令，则




又，
则，
所以，直线BM过定点(0，)，同理直线AN也过定点.
则点(0，)即为所求点.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
14．(2022·山西·太原五中二模(文))已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．
(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；
(2)请从①②两个问题中任选一个作答
①设与的斜率之积，求面积的值．
②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．
【答案】(1)距离为，证明见解析；
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)讨论和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明；
(2)若选①，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合(1)中面积公式求解即可；若选②，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合(1)中面积公式得到的表达式，平方整理，由含的项系数为0即可求解.
(1)
当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为；
当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为，也满足，
则点到直线的距离为；因为，
则；
(2)
若选①，设，设，直线与椭圆联立可得，
同理直线与椭圆联立可得，不妨令，则，
，
则；
若选②，设，设，直线与椭圆联立可得，则，
同理可得，则
，两边平方整理得，
由面积与无关，可得，解得，故时，无论与如何变动，面积保持不变．
15．(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的斜率分别为，，求的值；
(3)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(3)P点的轨迹方程为
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得求解即可；(2)根据方程先求，再结合韦达定理求；(3)联立直线方程结合求点P的横坐标．
(1)
根据题意可得，解得
∴求椭圆C的方程为
(2)
根据题意可得，设直线l：，直线BE的斜率为，则
∵，整理得，则
联立方程，消去得
∴

∴
(3)
根据题意可得直线AE：，BF：
联立方程，解得
∴P点的轨迹方程为