广东省佛山市顺德区镇街学校等高一下学期期中联考数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省佛山市顺德区镇街学校等高一下学期期中联考数学试题（解析版）(1)-A4，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求解即可.
【详解】.
故选：C.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得.
故选：B.
3. 已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，
因为扇形的周长为，面积为，可得且，
解得.
故选：B.
4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根，
所以由韦达定理可得，解得.
故选：B
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由，求得，结合两角和与差的正弦公式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
若，可得，
联立方程组，可得，
则，即充分性成立；
若，可得，
联立方程组，可得，
则，即必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
6. 在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 不确定的
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案.
【详解】在中，由余弦定理得，
因为，可得，
代入上式，整理得，即，所以，
所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 在上单调递减
C.
D. 的图象关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的公式，化简函数为，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.
【详解】由函数，
对于A中，由，令，
则，
所以不是奇函数，所以A不正确；
对于B中，由，可得，
由正弦函数在为单调递减函数，
可得函数在上为单调递减函数，所以B正确；
对于C中，若，可得，
即函数关于点中心对称，
因为，所以不是函数的对称中心，
结合函数不满足，所以C错误；
对于D中，由不是的最值，
所以函数的图象不关于直线对称，所以D错误.
故选：B.
8. 如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，结合正弦定理可得解.
【详解】
如图，过点作，交于点，作，交于点，
则.
因为，
所以，，，，.
因为，且，
所以由正弦定理得，
得，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，求得，结合诱导公式和倍角公式，逐项计算，即可求解.
【详解】由角的终边经过点，可得，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数相等的定义，以及复数模的计算公式，可得判定A正确；根据特例法，可判定B、C、D均错误，即可得到答案.
【详解】对于A中，设复数，
若，即，可得，即且，
由，所以，所以A正确；
对于B中，若，此时，
但复数和不能比较大小，所以B错误；
对于C中，如，可得，此时，所以C错误；
对于D中，若，可得，此时满足，
但且，所以D错误.
故选：BCD.
11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ）
A. 角的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 周长的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，先利用正弦定理转化，得出，然后利用锐角三角形的三个内角均为锐角建立关于角A的不等式组，解不等式组即可判断；对于选项B，利用正弦定理得到，再结合A选项的角A的范围求得的取值范围；对于C选项，利用已知条件和选项B的结论，得出，再结合A选项的角A的范围，然后求得的范围，从而求得周长的范围；对于选项D，利用已知条件和选项B的结论，得出再结合A选项的角A的范围即可求得的取值范围.
【详解】因为，且，所以，所以，
所以.因为是锐角三角形，，所以，
则，
则解得，所以，A正确.
因为，
所以.
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，B正确.
.设，
则在上单调递增，所以，
即.因为，
所以周长的取值范围是，C错误.
因为，所以.
因为在单调递增，所以，
所以，即，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数图象的对称中心的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用正切型函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由函数，令，解得
所以函数图象的对称中心的坐标是.
故答案为：.
13. 某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是______千米.
【答案】
【解析】
【分析】画出图分析，在与中分别由正弦定理求出，，然后在等边中，求解即可.
【详解】如图：
在中，由题意可知，，千米，
由正弦定理可得，则千米.
在中，由题意可知，，千米，
由正弦定理可得，则千米.
在中，，千米，则千米.
故答案为：
14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
可得，可得，即，可得，
又由，可得，
则满足，解得，
当时，可得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解；
（2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），
所以实数的值为.
【小问2详解】
由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 已知向量，满足，，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，满足，，且．
可得，可得，
设向量与的夹角为，可得，
因为，所以，即向量与夹角为.
【小问2详解】
解：因为，可得，
即，解得或.
17. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
（1）已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
（2）若，求的值．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形中线向量得，再利用向量的线性运算得，然后利用平面向量数量积的运算性质可求出；
（2）设，则，由得，再利用三点共线，利用向量线性运算得，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因，，，所以，
所以.
【小问2详解】
设，则，所以，又，所以，
由（1）知，所以，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又，所以，解得，
所以.
18. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地.

（1）已知.
①求道路的长度；
②求的面积.
（2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.
【答案】（1）①千米；②平方千米.
（2）万元.
【解析】
【分析】（1）①利用正弦定理计算可得结果；②利用两角和的正弦公式求出的正弦值，再由面积公式计算可得结果；
（2）设，利用正弦定理求出的面积关于的表达式，再结合三角函数值域问题即可得出结果.
小问1详解】
①由正弦定理可得，
则千米.
②因为，，所以，
所以
则的面积平方千米.
【小问2详解】
设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米.
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元.
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.
19. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，求得，即，再由，得到，求得，得到，结合三角函数的图象变换，即可求得的解析式；
（2）由，得到，结合正弦型函数的性质，即可求得不等式的解集；
（3）当，求得，根据题意，转化为恒成立，进而转化为恒成立，设，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
可得，解得，所以，即，
又由，可得，
因为，所以，所以，
将的向右平移个单位长度，可得函数，
所以函数解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）知：，不等式，即为，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
解：由（1）知：，
当，可得，当时，，
因为对任意的 ，，都有，
即当时，恒成立，即恒成立，
即当时，恒成立，
设，可得恒成立，
令，
当时，即时，即时，，