广东省佛山市顺德区高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省佛山市顺德区高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）(1)-A4，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 若单位向量，，满足，，则， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册5.4-5.7，必修第二册第六章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期公式直接求解即可
【详解】的最小正周期为.
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可
【详解】因为，
所以.
故选：C
3. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. 2B. C. 18D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的坐标，再由列方程可求出的值
【详解】由题意得，
因为，，
所以，解得.
故选：A
4. 的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将所求关系式中的切化弦，利用辅助角公式与诱导公式即可求得答案．
【详解】∵

.
故选D.
【点睛】本题考查三角函数恒等变换及化简求值，切化弦，利用辅助角公式是关键，属于中档题.
5. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助投影向量定义计算即可得.
【详解】依题意得向量在上的投影向量为．
故选：D.
6. 若单位向量，，满足，，则（ ）
A. 0B. C. 0或D. 0或
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求得，进而或，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】由题意知，，
得，
又，所以，
则或，
故或.
故选：D
7. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象，利用周期性确定的值，利用点代入确定的值，最后利用列出方程求得，即得函数解析式.
【详解】由图象可知，则.
因为，所以，所以.
由，得，
因为，所以，则
故，又因，
解得（因负根舍去），
所以.
故选：A.
8. 如图，是半径为，的扇形，是弧上的点，是扇形的内接矩形，设，若，四边形的面积S取得最大，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，利用直角三角形的性质、同角三角函数基本关系、倍角公式、辅助角公式、差角的余弦公式进行求解.
【详解】
由题意，则，，，
则，，
∴，
∴，
∴
，其中，，
当S取最大值时，，则，
所以
，
所以，解得，
因为，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角函数的定义，三角函数的基本关系式，三角函数的恒等变换，得到三角函数的解析式，进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图像的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围，难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 在正方形ABCD中，
B. 的模长为0
C. 若，则向量单位向量
D. 若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断.
【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误.
对于B，的模长为0，B正确.
对于C，若，则向量是单位向量，C正确.
对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误.
故选：BC
10. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称D. 为奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，再结合余弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，则的图象关于直线对称，B正确；
对于C，，则的图象关于点对称，C正确；
对于D，为奇函数，D正确．
故选：BCD
11. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，被称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A. 是的一个周期B. 在上有7个零点
C. 最大值为3D. 在上是增函数
【答案】BC
【解析】
【分析】先对函数化简得，然后逐个分析判断即可.
【详解】
.
对于A，因为，
所以不是的一个周期，A错误；
对于B，由，得或，
当时，可得，
所以上有7个零点，B正确；
对于C，当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，
因为，所以的最大值为3，C正确；
对于D，因为，所以D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由，得，列方程可求得答案.
【详解】因为， ，
所以，解得.
故答案为：3
13. 已知，，，且，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得出，，即可根据同角三角函数关系得出，，令，即可根据两角和差的正弦公式展开，代入求值即可得出答案.
【详解】，，，
，，
，，
．
故答案为：．
14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】将看成整体角，求出其范围，结合余弦函数的图象，由题意得到关于的不等式组,求出用表示的的范围，再由求得的范围，返回求出的范围.
详解】由，得，则，解得.
由，解得.因为，所以或1，则或，即的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，且.
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）对化简结合数量积的定义可求得结果；
（2）先求出，然后由化简可求得答案.
【小问1详解】
设向量与的夹角为，由，得，
因为，所以，
即，
解得，
又，所以，即向量与的夹角为.
【小问2详解】
由（1）知，
故
.
16. 已知向量.
（1）若，求；
（2）记，若对于任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）计算出，利用数量积公式求出答案；
（2）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出时，的最值，从而得到，求出的取值范围，得到答案.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
.
因为，所以，所以.
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值1.
因为恒成立，
且
所以，故的最小值为.
17. 在中，已知，，，与边上的中线相交于点．
（1）请用表示；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得；
（3）依题意为向量与的夹角，求出与，再由夹角公式计算可得.
【小问1详解】
为边上的中线，，
，可得.
【小问2详解】
由（1）可得
．
【小问3详解】
，
，
则．
18. 设，函数，.
（1）当时，求的值域；
（2）讨论的零点个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）令，可得，令，求出函数的单调性与值域，结合余弦函数的单调性，将问题转化为与的交点个数.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以，
令，则，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
故的值域为，即的值域为.
【小问2详解】
令，即，得.
因为，所以，
令，则，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
即，，
因为在上单调递减，
所以的零点个数等价于的零点个数，
即与的交点个数，
当或时，无解；
当时，仅有一解；
当时，有两解.
综上，当或时，无零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点.
19. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）①证明：．
②证明存在点，使得，并求出的坐标．
（2）若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标．
【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别求出，，，，利用向量夹角公式可得；
②由条件知点为四边形外接圆的圆心，由，,可得，，所以四边形外接圆的圆心为的中点，从而求出点的坐标；
（2）求出四边形各边长，由将四边形分成周长相等的两部分，可知，从而可得点的坐标.
【小问1详解】
①因为，
所以，，，，
得，
，
所以．
②由知，点为四边形外接圆的圆心．
因为，，
所以，
所以，，四边形外接圆的圆心为的中点，
所以点的坐标为，得证．
【小问2详解】
易得，，．
因为将四边形分成周长相等的两部分，则点在上，且．
设点的坐标为，则，
所以，则
故点的坐标为．