广东省佛山市顺德区第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省佛山市顺德区第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）(1)-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案.
【详解】因为，所以，所以的虚部为1.
故选：B
2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高.
【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，所以
圆锥的母线长为6，设其底面半径为，则，所以，
所以圆锥的高为，选C
【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该扇形的圆心角的弧度数为 .
3. 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式知，，逆用两角和的余弦公式即可求得答案．
【详解】根据题意知，因为，
所以
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查诱导公式与两角和的余弦公式的逆用，以及特殊角的三角函数值．
4. ，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换及诱导公式化简，再借助余弦函数性质比较大小即可.
详解】
，
，
，
而余弦函数在上单调递减，则，
所以a，b，c的大小关系是.
故选：D
5. 平面向量，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.
【详解】，由于，所以，解得，
故选：A
6. 已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值.
【详解】函数一条对称轴为，，
，的对称轴可以表示为，
令，则，在上单调，
则，使得，解得，由，得，
当时，取得最大值为.
故选：C．
7. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（ ）（参考数据：取）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，，在中，由余弦定理求解即可.
【详解】设，由题意可得，
由题意知：，
在中，由余弦定理可得，
得：，得：.
故选：B.
8. 已知平面向量，且，向量满足则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用坐标表示向量，由给定等式建立方程，再利用几何意义求出最小值.
【详解】依题意，设，，，由，得，
，则，，，，
设，由，得，
即，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，则点在直线上，
表示直线上的点与圆上点的距离，过作轴于，于，
，而，则射线平分，因此，
所以的最小值为.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在复平面内对应的点位于第四象限B.
C. 的实部为D. 的虚部为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由复数的运算求得，再根据复数的定义计算后判断各选项．
【详解】由题意，
对应点坐标为在第四象限，A正确；，B正确；
实部为，C正确，虚部是，D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，考查复数的定义及几何意义，解题时通过复数的运算化复数为代数形式，然后根据复数的定义求解判断．
10. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角一定为锐角B.
C. D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
，，
为钝角，A选项错误.
，
，B选项正确.
，由正弦定理得，
，，
由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确.
，
，
整理得，
由于为钝角，，所以，
当且仅当时等号成立.
所以，D选项错误.
故选：BC
11. 已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A. 四面体的外接球的表面积为
B. 四面体体积的最大值为
C. 点D的运动轨迹的长度为
D. 边AD旋转所形成的曲面的面积为
【答案】ACD
【解析】
分析】对ABCD各选项逐一分析即可求解.
【详解】解：对A：，
AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，
，
，故选项A正确；
对B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，
，故选项B错误；
对C：设方形对角线AC与BD交于O，
由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形，
此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，
所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；
对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，
底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，
即所求曲面的面积为，故选项D正确.
故选: ACD.
【点睛】关键点点睛：C选项解题的关键是点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧；D选项解题的关键是边AD旋转所形成的曲面为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面的.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知|，点在内，且，设，则等于 ．
【答案】3.
【解析】
【详解】方法一：
, ①
又, ②
, ③
将②③代入①得：，所以，
点在内， 所以.
方法二：
以直线OA,OB分别为轴建立直角坐标系，
则 ,
设，
又，
得，即 ，
解得.
故答案为：3.
13. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求解即可.
【详解】，，
,
由正弦定理得，
即
，
，，，
，，
，，
，解得.
故答案为：.
14. 如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为_______；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为____________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】选取向量为基底，把用基底表示出来，再求出数量积即可；用表示出，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值．
【详解】在中，，，设，
则，
由三点共线，得，解得，因此，
因为，，，于是
，解得；
因为，，，则有，
而三点共线，因此，则
，当且仅当，即取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知
（1）若，求实数m、n的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等列式求解.
（2）设，利用向量共线的坐标表示建立关系，再利用模的坐标表示求出最小值.
【小问1详解】
由，得，
而，，则，即，
所以.
【小问2详解】
设，则，而，
由，得，即，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
16. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到棱长为的正四面体的体积公式，再根据体积比计算可得；
（2）求出石凳的表面积，即可估计出费用.
【小问1详解】
因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
【小问2详解】
因为正四面体棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
17. 在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足.
（1）求角的大小；
（2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积.（注：只需写出一个选定方案即可）
【答案】（1）；（2）答案不唯一，详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得的大小.
（2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三角形的面积.
【详解】（1），，
，，
，
由于，所以.
（2）若选②③，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定.
若选①②，三个已知条件是，
由正弦定理得，
，
所以.
若选①③，三个已知条件是，
由余弦定理得，
即，解得，
.
18. 如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求.
（2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值.
（3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值.
【详解】
（1）以点A为原点建系，得,,，
∴.
（2）由（1）知，设，
∴，，
∴
当时，最大值.
（3）设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，故最小值是.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）存，点
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，利用辅助角公式将函数化简，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得，即可求出的解析式，设，表示出，，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解；
（3）依题意当时恒成立，再对分三种情况讨论，参变分离结合对数函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
【小问2详解】
解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
【小问3详解】
解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.