广东省佛山市顺德区德胜学校高一下学期期中数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省佛山市顺德区德胜学校高一下学期期中数学试题（解析版）(1)-A4，共15页。试卷主要包含了考生作答时，将答案答在答题卡上， 已知均为锐角，，则的最大值为， 下列各式的值为1的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后请将答题卡和答题卷交回，试卷由考生自己保管.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据利用两角差的正弦公式计算可得；
【详解】解：∵，
∴
．
故选：C
【点睛】本题考查两差的正弦公式的应用，属于基础题.
2. 下列四个函数中，以为最小正周期的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数周期公式求解判断.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是；
对于B，函数的最小正周期为，B是；
对于C，函数的最小正周期为，C不是；
对于D，函数的最小正周期为，D不是.
故选：B
3. 已知向量，，若，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示，求出，进而求出向量的模.
【详解】向量，，由，得，解得，，
所以.
故选：B
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】按照各选项中给定的变换，逐项判断即得.
【详解】对于A，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，A正确；
对于B，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，B错误；
对于C，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向左平行移动个单位长度，
得，C错误；
对于D，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得的图象，再向右平行移动个单位长度，
得，D错误.
故选：A
5. 已知单位向量，夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
7. 已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为．
【详解】由知为中点，
又为外接圆圆心，，，
，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故选：D．
8. 已知均为锐角，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将等式展开并化为有关正切的关系式，再根据同角三角函数之间的关系以及基本不等式得到结果.
【详解】由题可得，
因为均为锐角，两边同时除以得，
所以，
因为均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列各式的值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用和差角公式、二倍角公式逐项求解判断.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，，B是；
对于C，，C是；
对于D，，D不是.
故选：BC
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.
【详解】依题意可得，，
所以，又，解得，所以，
对于A：由图象，函数过点，即，
所以，
所以，又，所以，
所以，故A错误；
对于B：由的图象向左平移个单位长度得到，
故B正确；
对于C：因为，
所以不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确.
故选：BD.
11. 已知与夹角为，若且，，则的可能值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】CD
【解析】
【分析】利用数量积的性质表示模长，根据基本不等式，可得答案.
【详解】由，则，
整理可得，由，当且仅当时取等号，
则，解得，所以，
由，则选项AB错误，选项CD正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，，则AC的长为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据余弦定理计算可得结果.
【详解】根据定理可得
.
故答案为：.
13. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD=,E为BC中点,若,则___.

【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，结合题意分别确定点C,E的坐标，然后结合点的坐标和平面向量的坐标运算法则即可求得向量的数量积.
【详解】以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB=3,AD=，E为BC中点，
∴A(0,0),B(3,0),D(0,)，
设C(x,)，，
，∴3x=3，解得x=1，∴C(1,)，

∵E为BC中点，∴,即为，
，
.
故答案：−3.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合正弦函数的性质求出范围.
【详解】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
，
因此
，
而，则，，
所以的范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）化简；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式，结合同角公式化简即得.
（2）利用诱导公式，结合同角公式化简，再利用已知值，结合同角公式求解.
【详解】（1）.
（2），
由，得，而，则，
而，则，解得，
所以原式.
16. 已知的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解；
（2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解．
【小问1详解】
解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
【小问2详解】
解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
17. 设函数；
（1）写出函数单调递增区间；
（2）若，求函数的最值及对应的的值；
（3）若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）最小值为，对应，最大值为0，对应
（3）.
【解析】
【分析】（1）利二倍角公式及辅助角公式化简，再由正弦函数单调性求出单调递增区间.
（2）根据的范围求出相位的范围，再利用正弦函数的最值及取得最值的条件求解.
（3）等价变形不等式，并借助（2）的结论求得的范围.
【小问1详解】
依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应.
【小问3详解】
不等式，
由（2）知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
18. 已知：是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）
【解析】
【分析】（1）设，根据条件列方程组解出即可；
（2）令求出，代入夹角公式计算；
（3）利用，且与不同向共线，列不等式求出实数的取值范围.
【详解】解：设，
∵，且，
∴，解得或，
∴或；
（2）∵与垂直，
∴，
即，
∴，
∴，
∴与的夹角为；
（3）与的夹角为锐角
则，且与不同向共线，
，
解得：，
若存在，使，
则，
，解得：，
所以且，
实数的取值范围是．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题．
19. 某幢大楼前由两条小路、围成的一个角状区域，在区域内修建一个正三角形花园（如图），已知，，设.
（1）用表示，并求的最大值；
（2）问为何值时，花园出口与之间的距离最近？
【答案】（1），的最大值为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将分别用表示出，即得的表达式，再结合的范围以及正弦函数的单调性即求出的最大值.
（2）由（1）知，由已知条件可以推出，，从而在中，运用余弦定理即可表示出，通过三角恒等变换化简表达式，根据的范围以及正弦函数的单调性即可求出的最小值，以及取最小值时相应的的值.
【小问1详解】
在中，，
由正弦定理得，即，
则，
因此，
由，得，当时，即时，，
所以的最大值为.
【小问2详解】
由是正三角形，得，，
由（1）知，在中，由余弦定理得
由，得，
当，即时，取最小值112，即取最小值，