广东省部分学校高一下学期期中联考数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省部分学校高一下学期期中联考数学试题（解析版）(1)-A4，共16页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁， 已知，，，，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：必修第一册占30%，必修第二册第六章至第八章第三节占70%.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，利用复数的乘法运算法则即可得出答案.
【详解】由题意可得.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别化简表示集合，再根据集合的交集运算求解即可.
【详解】，，则.
故选：D.
3. 函数的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当，即时，函数取得最小值4.
故选：C.
4. 已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可.
【详解】因为，为不共线向量，且，为共线向量，
所以，而，，
则，
故，解得，故D正确.
故选：D.
5. 利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为（ ）

A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直观图的作法确定原的顶点位置，由此求其面积.
【详解】如图，是图中的阴影部分，其中，
所以的面积为.

故选：A.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先写出解析式，由代入可得，由正切函数的性质可解得，结合可求得的最小值.
【详解】由题意可得，
，
则，，解得，，
因为，则取0，所以的最小值为.
故选：B.
7. 如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得以，，结合平面向量数量积的运算即可求解.
【详解】由题意知，，，所以，
又向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，
所以，，
所以.
故选：A.
8. 已知，，，，则（ ）
A. ，且B. ，且
C. ，且D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数的运算法则结合不等式的性质得到，利用对数函数的性质结合中间值证明即可.
【详解】因，所以，
又，得到，
则，即，
因为，，
所以，综上可得，且，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解.
【详解】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定成立，故A错误；
对于B，，，所以，故B正确；
对于C，，，所以，故C正确；
对于D，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，
又，，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是B. 的最小值是
C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由正弦型函数的周期计算公式，可得正误；对于B，由正弦型函数的值域，可得正误；对于C，由复合函数的单调性，根据三角函数的单调性，求得单调区间，可得正误；对于D，由正弦函数的对称性，利用代入检验，可得正误.
【详解】，所以函数的最小正周期，故A正确；
当时，函数取最小值，故B错误；
由，得，
令，得的一个单调递增区间为，
因为，所以函数在区间上单调递增，故C正确；
因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确，
故选：ACD.
11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（ ）
A. B.
C. 若，，则D. 若，则或
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式、的范围可判断A；由余弦定理可判断B；由正弦定理、余弦二倍角公式、两角和与差的余弦公式可判断C；由利用余弦的二倍角公式可判断D.
【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，所以，
再由得，故A错误；
对于B，由余弦定理得，整理得，故B正确；
对于C，由结合正弦定理，
得
，因为，
所以，得，
因为，所以，又因为，所以，故C正确；
对于D，由C选项，，，
得，整理得，
解得或，因为，所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一元二次方程的两个虚根为______.
【答案】和
【解析】
【分析】根据复数根的求解方法求解即可.
【详解】，所以，所以，得，
所以方程的两个虚根为和.
故答案为：和.
13. 已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】先判断为奇函数，再分析其单调性，发现为增函数，故可利用单调性得到自变量的大小，由此可得到解集.
【详解】因为，且函数的定义域为，所以为奇函数，
又因为和在上均为增函数，所以为增函数，
由，得，
故，解得，所以不等式的解集为.
故答案为：.
14. 在三棱锥中，AP，AB，AC两两垂直，，.以PA为直径的球O与PB，PC分别交于点D，E，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】因为是球O的直径，D在球O上，根据直径所对的圆周角为直角，所以，根据同一个三角形面积相等可算得的长度，继而得到的长度，同理可算得，再在中，由余弦定理得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
因，，所以，
因为是球O的直径，D在球O上，根据直径所对的圆周角为直角，
所以，则，，
同理，，
连接，因为，所以，故，得，
在中，由余弦定理得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，其中a，.
（1）求a，b；
（2）设，若，证明：.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由复数的四则运算法则可化简题干条件等号的左边，再由复数相等的充要条件可解出；
（2）由（1）可代入化简题干条件，写出模相等的等式，化简即可证明题干结论.
【小问1详解】
由复数的四则运算法则得，
由复数相等的充要条件得
解得，.
【小问2详解】
因为，，，
所以化为，
即，
所以，
整理得.
16. 如图1，正四棱台的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.
（1）求正四棱台的体积；
（2）若正四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得上下底面的边长分别为1，2，连接上下底面的中心即为高，利用勾股定理即可求得高，再由棱台的体积公式即可求得结果；
（2）由比例关系可知正四棱台上底面中心为得到正四棱锥的高的中点，则球心O在正四棱锥的顶点向下作的高线上，连接，根据题意可列出关于球的半径的方程，解之得半径，由此可算得球O的表面积.
【小问1详解】
依题意，正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，，
连接，交于点，连接交于点，连接，则即为正四棱台的高，
易得，，且有，解得，
所以正四棱台的体积.
【小问2详解】
因为正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，即，
所以在得到的正四棱锥中，为的中点，所以，
设正四棱锥的外接球的半径为R，
则O在上，连接，则.
在中，，得，
所以正四棱锥的外接球表面积为.
17. 已知函数，（且），函数的图象经过点.
（1）求关于x的不等式的解集；
（2）若函数有两个零点，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题干条件可求出，得到解析式，代入得到关于的一元二次不等式，由此可以解出答案；
（2）将问题转化为方程有两个实数解，即有两个实数解，
利用对勾函数性质求解即可.
【小问1详解】
因为函数的图象经过点，
所以，即，得，
所以，，
所以不等式转化为，
即，即，
因为，所以，得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
由（1）知，
所以由有两个零点，知方程有两个实数解，
即，得有两个实数解，
令，则，当且仅当，即时取等号，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数与的图象在区间和上各有一个交点，
则，得，
所以实数k的取值范围是.
18. 在梯形中，，，，AC与EF交于点G，设，.

（1）用基底表示；
（2）若，，求；
（3）设点G到AB，CD的距离分别为，，求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先用基底表示，再由结合题设即可求解；
（2）用基底表示向量和即可计算求解；
（3）先设，，用基底表示向量和，进而求出两参数，再由即可求解.
【小问1详解】
，
则.
小问2详解】
.
【小问3详解】
由AC与EF交于点G，可设，，
.
由（1）知，则，解得，
所以，解得.
19. 已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，在所在平面内以AC为边向外作如图所示，，，.

（1）求B；
（2）求的内切圆半径r；
（3）求的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，再根据余弦定理，得，进而得到B；
（2）根据数量积公式得，结合面积，求得，进而得到，，再利用余弦定理求出，以后利用求得的内切圆半径r；
（3）利用面积公式得，根据，求得面积的取值范围.
【小问1详解】
由及正弦定理，得，
又由余弦定理，得，所以，得.
因为，所以.
【小问2详解】
在中，，得，①
又，得.②
联立①②得，因为，所以，.
由余弦定理得，得.
又，解得.
【小问3详解】
由（2）知，所以的外接圆半径，
所以，，
所以的面积
，
因为是锐角三角形，所以得，
所以，，
所以，
所以面积的取值范围是.