专题三 数列 第二讲　数列求和及其综合应用-2025年高考数学二轮复习讲义（新高考专用）

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目录
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点一】数列求和3
【考点二】数列的综合问题5
【专题精练】7
考情分析：
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.
2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.
3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）记为数列an的前项和，已知．
(1)求an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
2．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列an前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
3．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
4．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
5．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
7．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
8．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
考点突破
【考点一】数列求和
核心梳理：
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
一、解答题
1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数，求；
②求．
2．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列an的前项和为，，且．
(1)求an的通项公式；
(2)若，求数列bn的前项和．
3．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
5．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
7．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（mdm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（md3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
规律方法：
(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．
【考点二】数列的综合问题
核心梳理：
数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解．
一、解答题
1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
2．（2024·广东广州·二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
4．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，
(1)计算；
(2)设数列满足，求的通项公式；
(3)设排列满足，求，
5．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
6．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
规律方法：
数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·江苏·期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（ ）
A．2045B．2046C．4093D．4094
4．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列an的前4项. 记，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系不能确定
5．（2024·全国·模拟预测）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．12B．16C．24D．36
6．（2023·湖北武汉·三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（2024·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
8．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元B．353.8亿元C．363.2亿元D．283.8亿元
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）对函数给出如下新定义：若在区间上为定值（其中表示不超过的最大整数，如），则称为的一个“整元”，将区间上从左到右所有“整元”的和称为在上的“整积分”，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上的“整积分”为
B．在区间上的“整积分”为4950
C．在区间上的“整积分”为
D．在区间上的“整积分”为
10．（2024·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．若，则
11．（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列的前项和为，且，数列与数列的前项和分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 .
14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：x表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ，
四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
16．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：．
17．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
18．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数，求，并根据，求；
(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
19．（2023·北京东城·一模）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②.
则称这样的数表具有性质.
(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；
(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.