2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题三　第一讲　空间几何体（含解析）

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1.(2024·新课标Ⅰ卷，T5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为( )
A.23πB.33πC.63πD.93π
2.(2025·天津，T4)若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α，n⊂α，则m∥n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
3.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T9)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则( )
A.AD⊥A1CB.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，则该棱台的体积为 .
5.(2025·全国Ⅱ卷，T14)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm.
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~15分.
考查方向：
一是求几何体的表面积与体积，常与侧面展开图相结合；二是球的组合体，常与球相“内切”或“外接”进行考查；三是考查空间点线面关系的判断，以空间几何体的结构特征为背景，考查关于线面位置关系命题的真假判断.
1.答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为r2+3，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×3=πr×3+r2，
即23=3+r2，故r=3，
故圆锥的体积为13π×9×3=33π.
2.答案 C
解析 若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；
若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；
若m⊂α，α⊥β，则m与β平行或相交或m⊂β，故D错误.
3.答案 BD
解析 方法一 如图，设D1为B1C1的中点，
由题意得AA1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，则AD⊥AA1，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C=A1，AA1，A1C⊂平面AA1C，则AD⊥平面AA1C，因为AC⊂平面AA1C，则AD⊥AC，矛盾，故A错误；
由题意知AD⊥BC，AA1⊥BC，
又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，
则BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；
由题意得AD∥A1D1，假设AD∥A1B1，则A1D1∥A1B1，与A1B1∩A1D1=A1矛盾，则AD∥A1B1不成立，故C错误；
由题意得CC1∥AA1，又CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，故CC1∥平面AA1D，故D正确.
方法二 对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则A1A·AD=0，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，则DC·AD=0.
又A1C=A1A+AD+DC，
所以A1C·AD=(A1A+AD+DC)·AD=A1A·AD+AD2+DC·AD=AD2≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，
又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，
所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；
对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，
假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾，
所以AD∥A1B1不成立，故C错误；
对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，
又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确.
方法三 如图，建立空间直角坐标系，设AB=2，该正三棱柱的高为h，
则D(0，0，0)，A(3，0，0)，A1(3，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)，B1(0，1，h)，
对于A，AD=(-3，0，0)，A1C=(-3，-1，-h)，
则AD·A1C=(-3)×(-3)+0+0=3≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，D，B1C1=(0，-2，0)，CC1=(0，0，h)，AA1=(0，0，h)，
设平面AA1D的法向量为n=(x，y，z)，
则AA1·n=hz=0，AD·n=-3x=0，得x=z=0，令y=1，则n=(0，1，0)，
所以B1C1=(0，-2，0)=-2n，CC1·n=0，
则B1C1⊥平面AA1D，又CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故B，D正确；
对于C，AD=(-3，0，0)，A1B1=(-3，1，0)，
则-3-3≠01，显然AD∥A1B1不成立，故C错误.
4.答案 766
解析 如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，
易知A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，
因为AB=2，A1B1=1，AA1=2，
则A1O1=12A1C1=12×2A1B1=22，
AO=12AC=12×2AB=2，
故AM=12(AC-A1C1)=22，
则A1M=AA12-AM2=2-12=62，
所以所求体积为V=13×(4+1+4×1)×62=766.
5.答案 52
解析 设铁球的半径为r cm.
分三种情况讨论.
情况一：竖直排列(一个在上，一个在下)，则4r≤9，
∴r≤94；
情况二：水平排列(并排放置)，则4r≤8，
∴r≤2；
情况三：斜向排列，截面图如图所示，0