人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆教学设计，共7页。
椭圆及其标准方程
教学目标
1、理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的两种形式及其推导过程，能根据条件确定椭圆的方程；
2、通过对椭圆轨迹的形成过程的探索培养学生的观察能力和探索能力，通过对椭圆标准方程的推导，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法；
3、通过主动探索、合作学习、相互交流感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是生的科学态度和锲而不舍的钻研精神，培养学生自主学习的能力。
教学重点：椭圆的标准方程
教学难点：椭圆定义和椭圆标准方程的联系及推导
教学过程
（1）创设情境，提出课题
学习新课之前首先来观察几幅图片
神舟六号围绕地球运行的轨迹是什么图形
桌子上的摆件是什么形状
都是椭圆。椭圆是圆锥曲线中的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的性质奠定基础？
设计意图：由实际情境出发，先感受椭圆的形状。
（2）归纳抽象，建构椭圆的概念
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，若把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1,F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
师生活动：如图，取一根定长的细绳固定其两端，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖画图，变化定长与定点，发现所画的曲线具有共同的特点，然后用数学语言刻画这些曲线上点满足的几何条件。
设计意图：由实际操作，强化学生对椭圆的几何特征的认识，并引导学生由此抽象出椭圆的定义。
问题1：你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？
师生活动：学生尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义。在此基础上教师关注学生对定义中相关用语及符号表示：“平面内”“ 定点”“距离之和”“常数大于两定点间的距离”“点的轨迹”的使用是否准确。若学生忽略了“这个常数大于两定点间的距离”这一条件，教师通过追问启发帮助学生完善。同时让学生搞清楚：当常数等于两定点间的距离时，点的轨迹是线段；当常数小于两定点间的距离时，点的轨迹不存在。再给出椭圆的概念的基础上，教师再引导学生了解焦点，焦距，半焦距等概念。
设计意图：通过强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力，同时让学生获得焦点，焦距等概念。
（3）建系推导，建立椭圆的标准方程
问题2：遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立椭圆的方程，你能猜想建立椭圆方程的大致步骤吗？请尝试建立椭圆的方程。
师生活动：
①通过生生讨论师生讨论明确建立椭圆的方程的大致步骤。根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，明确椭圆上的点满足的几何条件，将几何条件转化为代数表示，列出方程，化简方程，检验方程。同时教师简要的说明缘由：建立适当的坐标系，用有序数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标是用坐标法研究问题的前提与基础；分析点在曲线上的条件（记为p），写出适合条件P的点的集合P=Mp(M)，是建立曲线的方程的依据，用坐标表示条件p(M)列出方程fx,y=0，这是建立曲线的方程的关键；化方程fx,y=0为最简形式，这既符合数学知识发展的内在逻辑，也是为后面用方程研究曲线做好铺垫；说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，反正也对，这是保证方程与曲线等价性的需要，由于在推导椭圆的标准方程前完整地得出这五个步骤难度太高，因而有些步骤可以再推导方程后，以师生讨论的方式给出。
②讨论、明确如何建立适当的直角坐标系，观察椭圆发现：它具有对称性，并且过两个焦点的直线是它的对称轴。受圆心在圆点时圆的标准方程最简单启发，以经过椭圆两焦点F1,F2，的直线，为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系Oxy.
化简方程(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=2a时，先预测不同化简方案对后继推导的影响，在得到方程(a2−c2)x2+a2y2=(a2−c2)a2后，从简化、美化、寻找a2−c2的几何意义入手，继续优化方程。
④讨论以上方程的变形，是不是同解变形，明确方程x2a2+y2b2=1与所给椭圆是等价的，是椭圆的方程，并且称为椭圆的标准方程.
⑤引导学生反思为什么要用2a,2c，而不是a,c表示椭圆的定长与焦距。
⑥感悟方程x2a2+y2b2=1所蕴含的简洁美、对称美、和谐美，感悟“数”与“形”内在的一致性。
设计意图：明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性;明确如何建立适当的直角坐标系，引导学生学会建立适当的直角坐标系；以椭圆标准方程的推导为载体，引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法；以椭圆标准方程的概念为载体，深化学生对曲线与方程的关系的理解。
问题3：如果椭圆的焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为（0，c），（0，-c），a,b的意义同上，那么椭圆的方程又是什么？
师生活动：学生先猜想，并讨论猜想成立的依据，再由学生独立完成。
设计意图：形成和完善椭圆标准方程的概念。
（4）及时巩固，熟练运用
例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0），并且经过点（52，−32）求它的标准方程。
师生活动：用两种方法求解。方法1，根据椭圆的定义及a,b,c之间的关系直接求。方法2：利用（52，−32）满足方程x2a2+y2b2=1求解。
设计意图：巩固椭圆及其标准方程的概念。
课堂练习：课本109页练习1,2题。
设计意图：及时巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程以及a,b,c之间的关系。
例2、如图，在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
师生活动：明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点M的坐标（x,y）所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件;掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法，即通过建立点M与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解；变式训练：求MD=kPD(k>0且k≠1)时点M的轨迹方程，并进一步思考椭圆与圆的关系；明确椭圆与圆的联系，椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线。
设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系。
（5）回顾反思，提炼升华
问题4：椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么？推导椭圆的标准方程时，建立直角坐标系的依据是什么？
椭圆标准方程推导给了你怎样的启示？就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？为什么是这些步骤？
师生活动：学生从椭圆的概念，建立适当的直角坐标系常用思路与方法，椭圆的标准方程的推导过程与方法，求曲线的方程的一般步骤四方面对所学内容进行回顾与反思。
设计意图：及时梳理提炼与升华所学知识知识。
（6）布置作业
课本习题3.1第1,2,5,6,9,10题。