1.5.2三角形的三条内角平分线-课件--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

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北师大版数学八年级下册培优精做课件1.5.2三角形的三条内角平分线第一章 三角形的证明授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月6日1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点)2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。 (难点) 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？问题：角平分线的性质和判定是什么？性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )。∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC ( 等边对等角 ).∵∠C = 90°， 探究点：三角形的角平分线(2) 求证：AB＝AC＋CD.证明：由 (1) 的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED (HL).∴ AC＝AE.∵ BE＝DE＝CD，∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.在等腰 Rt△BDE 中，∴ BE = DE ( 等角对等边 )。探究点：三角形的角平分线C 返回2．(8分)如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是△BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F。 (1)求证：AG平分∠BAC；证明：∵AD＝AE，AG⊥DE，即AF⊥DE，∴AF平分∠DAE，即AG平分∠BAC。(2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于点P，求证：P在∠BAC的平分线AG上。解：过点P作PQ⊥DE于点Q，PH⊥AB于点H，PM⊥AC于点M，如图，∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED，∴PQ＝PH，PQ＝PM，∴PH＝PM，∴点P在∠HAM的平分线上，∵AG平分∠BAC，∴点P在∠BAC的平分线AG上。 返回【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°.在 △BDF 和 △CDE 中，∴△BDF≌△CDE (AAS).∴ DF = DE.又 DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD 是∠BAC 的平分线.探究点：三角形的角平分线活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？结论：三角形的三条角平分线相交于一点.探究点：三角形的角平分线活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明以上两个结论吗？探究点：三角形的角平分线3．到三角形三条边距离相等的点是三角形____的交点。横线上应填(　　)A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线C．三条中线 D．三条高线A 返回4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(　　)A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2B 返回点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？DEIG探究点：三角形的角平分线例3 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P.求证：∠A 的平分线经过点 P.探究点：三角形的角平分线∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，同理 PE = PF.∴ PD = PE = PF.即∠A 的平分线经过点 P.证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F.∵BM 是 △ABC 的角平分线，∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 探究点：三角形的角平分线5．[咸阳期中]如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC＝110°，则∠A的度数为(　　)A．35° B．40° C．50° D．70°B 返回6．[宝鸡期中]如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)A．△ABC的三条中线的交点处B．△ABC三边垂直平分线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处C 返回结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。【归纳总结】探究点：三角形的角平分线【练一练】 2. 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和为 .O温馨提示：不存在垂线段——构造应用12E探究点：三角形的角平分线解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC.(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.EO探究点：三角形的角平分线3. 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)A．110° B．120° C．130° D．140°A解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠CBO＋∠BCO＝70°，∠BOC＝180° － 70°＝110°.探究点：三角形的角平分线三角形内角平分线的性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等应用：位置的选择问题1. 如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线.若∠BAC＝52°，则∠BAO＝(　B　)B2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是(　C　)C3. 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO＝8，则S△CAO＝ ⁠.14　4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.点P是△ABC三个内角平分线的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长.解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F.∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD. 设PD＝x，   ∴PD＝3.7．(4分)如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置。 解：如图，点P即为所求。 返回8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(　　)A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等D 返回9．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)A．1处 B．2处 C．3处 D．4处D 返回10．[宿州期中]如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是50，60，70，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　)A．1∶1∶1 B．7∶6∶5C．6∶5∶7 D．5∶6∶7D 返回11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连接AO，过点O作OH⊥BC于点H。若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝________。10 返回 返回