小学数学数学广角-----找次品单元测试当堂检测题

这是一份小学数学数学广角-----找次品单元测试当堂检测题，共15页。
A．48B．54C．36D．18
2．（2021秋•赣榆区期末）把一个长8厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体木块表面涂上红色，然后切成棱长是1厘米的小正方体，则三面涂色的小正方体有（ ）个。
A．8B．12C．24
3．（2022春•定州市期末）把一个棱长为6厘米的正方体表面涂色以后，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体（无损、无剩余）后，只有一面涂色的小正方体有（ ）个。
A．6B．8C．10
4．（2021秋•如东县期末）小娟用棱长1厘米的小正方体木块拼成一个棱长5厘米的大正方体，并把这个大正方体的表面涂成红色，其中一面涂色的小正方体有（ ）个。
A．8B．12C．36D．54
5．（2022秋•修文县期末）27个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂色，那么三个面涂色的小正方体有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．不能确定
二．填空题（共5小题）
6．把下图的正方体沿着图中的线锯开，其中三面着色的有 块，两面着色的有 块，一面着色的有 块。
7．一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整厘米数，把它切割成若干个棱长为1厘米的小正方体木块。如果存在有五个面涂色的小正方体木块，那么这样的小正方体木块最多有 个。
8．给上面3个方格涂色，每个方格只涂一种颜色。现有红、黄、绿三种颜色，每次三种颜色都要用，一共有 种不同的涂色方法。
9．一个正方体的棱长是6厘米，给它的表面涂上红色后，将正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，在这些小正方体中，只一个面涂红色的有 个，有两个面涂红色的有 个。
10．一个棱长是4分米的正方体木块，表面涂满了红色。把它切成棱长是1分米的小正方体。在这些小正方体中，3面涂色的有 个，2面涂色的有 个，1面涂色的有 个。
三．判断题（共3小题）
11．（2025•信都区）把一个表面涂色的正方体切成27个小正方体后，两面涂色的小正方体有12个。
12．（2024春•永登县期末）把下边大正方体涂上红色，沿线切开后，有3个面是红色的小正方体有12个。
13．用体积1立方厘米的小正方体木块125个，拼成一个最大的正方体，把拼成后正方体的表面都涂上红漆，只有两面涂红漆的有12块． ．
四．应用题（共2小题）
14．五条同样长的线段拼成一个五角星，如果每条线段上恰有2010个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个？
15．把一个长20厘米、宽16厘米、高10厘米的红色长方体木块，锯成许多棱长为1厘米的小正方体．在这些小正方体中，三面红色、两面红色、一面红色、没有红色的小正方体各有多少个？
五．解答题（共1小题）
16．用棱长为1cm的小正方体拼成如图的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，①②③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？
（1）填表。
（2）先观察上表，再填空。
如果把一个棱长为n（n≥3）的大正方体锯成棱长为1的小正方体，那么：
①位于顶点处的小正方体是 面涂色的，每个顶点上有1个，共有 个。
②除顶点处的小正方形外，位于棱上的小正方体是 面涂色的，每条棱上有 个，共有 个。
③位于表面中心处的小正方体是 面涂色的，每个面的中间有 个，共有 个。
④位于大正方体内部的小正方体是没有涂色的，共有 个。
（3）按照题中的规律，第⑨个正方体中，三面涂色的小正方体有 个，两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个，没有涂色的小正方体有 个。
（学困生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
一．选择题（共5小题）
1．（2022春•双湖县 期末）把一个棱长为5厘米的正方体木块涂上红色，再分割成棱长为1厘米的小正方体，其中刚好有两面涂色的小正方体有（ ）个。
A．48B．54C．36D．18
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】正方体表面涂色的特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。
【解答】解：5÷1＝5（个）
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
答：其中刚好有两面涂色的小正方体有36个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
2．（2021秋•赣榆区期末）把一个长8厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体木块表面涂上红色，然后切成棱长是1厘米的小正方体，则三面涂色的小正方体有（ ）个。
A．8B．12C．24
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】A
【分析】本题中，长方体的长、宽、高都有分割。三面涂色的小正方体在长方体木块的顶点上，长方体有几个顶点就有几个三面涂色的小正方体。
【解答】解：长方体有8个顶点，所以有8个三面涂色的小正方体。
故选：A。
【点评】解答本题需要注意，不规则的立体图形涂色的计数不适用于本题的规律，要根据图示具体判断。
3．（2022春•定州市期末）把一个棱长为6厘米的正方体表面涂色以后，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体（无损、无剩余）后，只有一面涂色的小正方体有（ ）个。
A．6B．8C．10
【考点】染色问题．
【答案】A
【分析】棱长为6厘米的正方体表面涂色以后，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体，每条棱能锯出3个小正方体，共3×3×3＝27（个）小正方体，只有一面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间，据此解答即可。
【解答】解：如图：
6÷2＝3（个）
（3﹣2）×6＝6（个）
答：只有一面涂色的小正方体有6个。
故选：A。
【点评】本题主要考查了染色问题，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
4．（2021秋•如东县期末）小娟用棱长1厘米的小正方体木块拼成一个棱长5厘米的大正方体，并把这个大正方体的表面涂成红色，其中一面涂色的小正方体有（ ）个。
A．8B．12C．36D．54
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】D
【分析】因为5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上都有5块小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体都是两面涂色；在每个面上除去棱上的正方体都是一面涂色。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：5÷1＝5（个）
一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（个）
答：其中一面涂色的小正方体有54个。
故选：D。
【点评】此题考查了立方体的知识；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
5．（2022秋•修文县期末）27个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂色，那么三个面涂色的小正方体有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．不能确定
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】C
【分析】因为有27个正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，因为三面涂色的小立方体只能在8个顶点上，所以三面涂色的小正方体有8个；据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小立方体只能在8个顶点上，所以三面涂色的小正方体8个．
故选：C。
【点评】本题考查正方体表面涂色的规律，考查学生的观察、推理和理解能力．
二．填空题（共5小题）
6．把下图的正方体沿着图中的线锯开，其中三面着色的有 8 块，两面着色的有 12 块，一面着色的有 6 块。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】8；12；6。
【分析】观察图形可知：大正方体被锯成了27个小方块，大正方体8个顶点上的8个小方块都有三个面着色；每个面上正中间的一块只有一面着色，大正方体正中间的一块没有着色，两面着色在每条棱的中间，据此分析填空。
【解答】解：三面着色的有8块；
两面着色的有：（3﹣2）×12＝12（块）
1×6＝6（块）
答：三面着色的有8块，两面着色的有12块，一面着色的有6块。
故答案为：8；12；6。
【点评】本题主要考查立体图形的分割与拼组，需要学生有很强的空间感。
7．一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整厘米数，把它切割成若干个棱长为1厘米的小正方体木块。如果存在有五个面涂色的小正方体木块，那么这样的小正方体木块最多有 2 个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】2。
【分析】长方体的长、宽、高都是整厘米数，将长方体木块切割成若干个棱长为1厘米的小正方体木块，只能一字排开；分析可得五个面涂色的小正方体木块两头各有的1块，进而求解。
【解答】解：一个表面涂色的长方体木块，长、宽，高都是整厘米数，把它切割成若干个棱长是1厘米的小正方体。五个面都涂色的小正方体只能是两头各有的1块，所以最多有2个。
答：这样的小正方体木块最多有2个。
故答案为：2。
【点评】本题考查的是染色问题，关键是确定五个面都涂色的小正方体的位置。
8．给上面3个方格涂色，每个方格只涂一种颜色。现有红、黄、绿三种颜色，每次三种颜色都要用，一共有 6 种不同的涂色方法。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力．
【答案】6。
【分析】这是一道有关搭配的题目，关键是列举出所有可能的情况；
当第一个方格涂红色时，第二个方格可以涂黄色或绿色，有2种方法；
同理，列举出第一个方格涂黄色、绿色时对应的方法，进而解答题目。
【解答】解：涂色方法如下：
共有6种不同的涂色方法。
故答案为：6。
【点评】本题侧重考查的知识点是排列的问题，按顺序写出所有的情况，做到不重复，不遗漏。
9．一个正方体的棱长是6厘米，给它的表面涂上红色后，将正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，在这些小正方体中，只一个面涂红色的有 96 个，有两个面涂红色的有 48 个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】96，48。
【分析】根据正方体的特点可知，一个面涂红色的在每个面的中间，两面涂红色的在12条棱的中间部分；要求一个面涂红色的有多少个，每个面有16个小正方体，然后乘面数即可解答；要求两个面涂红色的有多少个，先确定每条棱中间有几个小正方体，进而确定两面涂色的小正方体个数。
【解答】解：6÷1＝6（个）
（6﹣2）×（6﹣2）
＝4×4
＝16（个）
一个面涂红色的共有：
16×6＝96（个）
两面涂红色的有：
12×（6﹣2）
＝12×4
＝48（个）
答：只一个面涂红色的有96个，有两个面涂红色的有48个。
故答案为：96，48。
【点评】本题是一道关于染色问题的题目，需结合正方体的特征及染色的知识进行求解。
10．一个棱长是4分米的正方体木块，表面涂满了红色。把它切成棱长是1分米的小正方体。在这些小正方体中，3面涂色的有 8 个，2面涂色的有 24 个，1面涂色的有 24 个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】8，24，24。
【分析】把一块棱长4分米的正方体的外表涂上红色，然后沿棱切成棱长1分米的小正方体，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：4÷1＝4（个）
所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；
三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个。两
面涂色的有：（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）
一面涂色的有：（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝24（个）
答：这些小正方体中三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有24个。
故答案为：8，24，24。
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
三．判断题（共3小题）
11．（2025•信都区）把一个表面涂色的正方体切成27个小正方体后，两面涂色的小正方体有12个。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√。
【分析】先根据正方体的体积公式V＝a3，得出切成27个小正方体的大正方体每条棱上有3个小正方体；再根据正方体表面涂色的特点，可知两面涂色的小正方体在每条棱上；每条棱上有（3﹣2）个涂色的小正方体，共有12条棱，据此解答。
【解答】解：因为27＝3×3×3，所以这个大正方体每条棱上有3个小正方体。
两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（顶点除外），共有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
所以，把一个表面涂色的正方体切成27个小正方体后，两面涂色的有12个。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答本题关键明确两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（顶点除外）。
12．（2024春•永登县期末）把下边大正方体涂上红色，沿线切开后，有3个面是红色的小正方体有12个。 ×
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】×。
【分析】由题意可知，3个面涂色的小正方体在顶点位置，顶点有8个，据此判断即可。
【解答】解：把下边大正方体涂上红色，切开后，有3个面是红色的小正方体有8个。原题说法错误。
故答案为：×
【点评】关键是明确：三面涂色的小正方体分布在大正方体的顶点上。
13．用体积1立方厘米的小正方体木块125个，拼成一个最大的正方体，把拼成后正方体的表面都涂上红漆，只有两面涂红漆的有12块． × ．
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为有125个小正方体，125＝5×5×5，所以每条棱上有5个小正方体，因为两面有色的处在12条棱的中间上，但两端的两个涂了三面应扣除，所以共有：（5﹣2）×12＝36个；据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
因为有125个小正方体，125＝5×5×5，所以每条棱上有5个小正方体，
两面有色的处在12条棱的中间上，但两端的两个涂了三面应扣除，所以共有：
（5﹣2）×12＝36（个）
所以只有两面涂红漆的有12块说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心．
四．应用题（共2小题）
14．五条同样长的线段拼成一个五角星，如果每条线段上恰有2010个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，五条同样长的线段拼成一个五角星，则它们两两相交，一共会出现10个交点，如果每条线段上恰有2010个点被染成红色，要使这个五角星上红色点最少，则这10个交点都被染成红色，所以一共有2010×5﹣10＝10040个红色点．
【解答】解：根据题干分析可得，
2010×5﹣10
＝10050﹣10
＝10040（个）
答：这个五角星上红色点最少有10040个．
【点评】解答此题关键是画出图形，明确要使这个五角星上红色点最少，则这10个交点都被染成红色．
15．把一个长20厘米、宽16厘米、高10厘米的红色长方体木块，锯成许多棱长为1厘米的小正方体．在这些小正方体中，三面红色、两面红色、一面红色、没有红色的小正方体各有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一个长20厘米、宽16厘米、高10厘米的红色长方体木块，长方体的长、宽、高上分别切割成20个、16个、10个小正方体，一共可以得到20×16×10＝3200个；由此根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体），3面三面涂色的小正方体都在顶点处，剩下的是6个面都不涂色，据此即可解答问题即可解答问题．
【解答】解：共有：20×16×10＝3200（个）；
20﹣2＝18（个）；
16﹣2＝14（个）；
10﹣2＝8（个）；
所以只有一面涂色的有：
（18×14+18×8+14×8）×2
＝508×2
＝1016（个）；
只有两面涂色的有：
（18+14+8）×4
＝40×4
＝160（个）．
三面涂色的有8块；
没有涂色的：3200﹣1016﹣160﹣8＝2016（个）．
答：在这些小正方体中，三面红色的小正方体有8个，两面红色的小正方体有160个，一面红色的小正方体有1016个，没有红色的小正方体有2016个．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
五．解答题（共1小题）
16．用棱长为1cm的小正方体拼成如图的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，①②③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？
（1）填表。
（2）先观察上表，再填空。
如果把一个棱长为n（n≥3）的大正方体锯成棱长为1的小正方体，那么：
①位于顶点处的小正方体是 三 面涂色的，每个顶点上有1个，共有 8 个。
②除顶点处的小正方形外，位于棱上的小正方体是 两 面涂色的，每条棱上有 （n﹣2） 个，共有 （n﹣2）×12 个。
③位于表面中心处的小正方体是 一 面涂色的，每个面的中间有 （n﹣2）×（n﹣2） 个，共有 （n﹣2）×（n﹣2）×6 个。
④位于大正方体内部的小正方体是没有涂色的，共有 （n﹣2）×（n﹣2）×（n﹣2） 个。
（3）按照题中的规律，第⑨个正方体中，三面涂色的小正方体有 8 个，两面涂色的小正方体有 96 个，一面涂色的小正方体有 384 个，没有涂色的小正方体有 512 个。
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题；应用意识．
【答案】（1）8，8，8，0，12，24，0，6，24，0，1，8，（2）①三，8，②两，（n﹣2），（n﹣2）×12，③一，（n﹣2）×（n﹣2），（n﹣2）×（n﹣2）×6，④（n﹣2）×（n﹣2）×（n﹣2），（3）8，96，384，512。
【分析】三面涂色和顶点有关，8个顶点。
两面染色和棱长有关，即新棱长计算表面积公式：（棱长﹣2）×12。
一面染色和表面积有关，同样用新棱长计算表面积公式：（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6。
0面染色和体积有关，用新棱长计算体积公式：（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）。据此解答。
【解答】解：（1）填表。
（2）先观察上表，再填空。
如果把一个棱长为n（n≥3）的大正方体锯成棱长为1的小正方体，那么：
①位于顶点处的小正方体是 三面涂色的，每个顶点上有1个，共有 8个。
②除顶点处的小正方形外，位于棱上的小正方体是 两面涂色的，每条棱上有 （n﹣2）个，共有 （n﹣2）×12个。
③位于表面中心处的小正方体是 一面涂色的，每个面的中间有 （n﹣2）×（n﹣2）个，共有 （n﹣2）×（n﹣2）×6个。
④位于大正方体内部的小正方体是没有涂色的，共有 （n﹣2）×（n﹣2）×（n﹣2）个。
（3）按照题中的规律，第⑨个正方体中，三面涂色的小正方体有 8个，两面涂色的小正方体有 96个，一面涂色的小正方体有 384个，没有涂色的小正方体有 512个。
故答案为：8，8，8，0，12，24，0，6，24，0，1，8，三，8，两，（n﹣2），（n﹣2）×12，一，（n﹣2）×（n﹣2），（n﹣2）×（n﹣2）×6，（n﹣2）×（n﹣2）×（n﹣2），8，96，384，512。
【点评】熟悉染色面的计算公式是解决本题的关键。
考点卡片
1．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

序号
①
②
③
三面涂色的个数



两面涂色的个数



一面涂色的个数



没有涂色的个数



题号
1
2
3
4
5
答案
C
A
A
D
C
序号
①
②
③
三面涂色的个数
8
8
8
两面涂色的个数
0
12
24
一面涂色的个数
0
6
24
没有涂色的个数
0
1
8
序号
①
②
③
三面涂色的个数
8
8
8
两面涂色的个数
0
12
24
一面涂色的个数
0
6
24
没有涂色的个数
0
1
8