初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）旋转优秀导学案

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▉题型1 生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
1．图1是某巨型摩天轮示意图，摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则经过x分钟后，12号车厢会运行到最高点，则x的值为（ ）
A．17.5B．20C．22.5D．25
【答案】C
【解答】解：36−21+1236×30＝22.5（分钟），
所以经过22.5分钟后，12号车厢才会运行到最高点．
故选：C．
2．下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【解答】解：①由M顺时针旋转90°得到，故①正确；
②由M逆时针旋转90°得到，故②正确
③由M无法旋转得到，故③错误；
④由M顺时针旋转360°得到，故④正确．
故选：C．
3．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．荡秋千B．飞驰的火车
C．传送带移动D．运动员掷出的标枪
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，
A、荡秋千属于旋转，符合题意；
B、飞驰的火车属于平移，不符合题意；
C、传送带移动属于平移，不符合题意；
D、运动员掷出的标枪属于抛物线，不符合题意．
故选：A．
4．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．足球在地上的滚动B．电梯的运行
C．热气球点火升空D．钟摆的摆动
【答案】D
【解答】解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意；
B、电梯的运行是平移，不符合题意；
C、热气球点火升空是平移，不符合题意；
D、钟摆的摆动是旋转，符合题意；
故选：D．
5．下列生活中的实例是旋转的是（ ）
A．钟表的指针的转动
B．汽车在笔直的公路上行驶
C．传送带上，瓶装饮料的移动
D．足球飞入球网中
【答案】A
【解答】解：A、钟表指针的运动，属于旋转：
B、行驶的汽车，属于平移：
C、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移：
D、足球飞入球网中，属于平移．
故选：A．
6．下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球
B．一个图形沿某直线对折过程
C．气球升空的运动
D．钟表钟摆的摆动
【答案】D
【解答】解：A、滚动过程中的篮球，属于平移和旋转，故A不符合题意；
B、一个图形沿某直线对折过程，不属于旋转，故B不符合题意；
C、气球升空的运动，不属于旋转，故C不符合题意；
D、钟表钟摆的摆动，属于旋转，故D符合题意；
故选：D．
7．在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：根据旋转的性质和旋转的方向得：△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案是A，
故选：A．
8．如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A、360°；
B、360°÷6＝60°；
C、360°÷6＝60°；
D、360°÷6＝60°．
A的旋转角度与其它三个不同．
故选：A．
▉题型2 旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
9．如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转110°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC逆时针旋转110°，得到△AB'C′，
∴∠BAB'＝110°＝∠CAC'，AB＝AB'，
∴∠AB'B＝∠ABB'＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
∵AC'∥BB'，
∴∠C'AB'＝∠AB'B＝35°，
∴∠CAB'＝∠CAC'﹣∠C'AB'＝110°﹣35°＝75°，
故选：D．
10．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】C
【解答】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF＝90°+40°＝130°，OA＝OF，
∴∠OFA＝（180°﹣130°）÷2＝25°．
故选：C．
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．85°
【答案】B
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝60°．
∵∠AOB＝25°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝60°﹣25°＝35°．
故选：B．
12．如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（ ）
A．∠AOCB．∠AODC．∠AOBD．∠BOC
【答案】A
【解答】解：如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，
旋转角是∠AOC或∠BOD，
故选：A．
13．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B
【解答】解：如图，
∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，若AC＝6，连接CE，则CE的长为（ ）
A．3B．6C．62D．12
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，AC＝6，
∴△ABC≌△ADE，∠EAC＝90°，
∴AC＝AE＝6，
∴CE=AC2+AE2=62，
故选：C．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．4B．23C．3D．3
【答案】B
【解答】解：如图，连接BB'，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，
∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，
∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=42−22=23，
∴BB'＝23，
故选：B．
16．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE
∴AB＝AD，∠BAD＝110°
由三角形内角和
∠B=180°−∠BAD2=180°−110°2=35°
故选：B．
17．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α度得到△A′B′C，A′C交AB于点D．若∠A′DB＝90°，∠A′＝65°，则α＝ 25 °．
【答案】25．
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转α度得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝α，∠A＝∠A′＝65°，
∵∠A′DB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°，
即α＝25°．
故答案为：25．
18．一副直角三角尺先按如图1所示的方式叠放，再让含45°的三角尺ADE固定不动，然后将含30°的三角尺ABC绕顶点A按顺时针方向旋转半周．
（1）当DE∥BC时（如图2），∠CAE的度数是 15° ．
（2）当DE平行于三角尺ABC的其他边时，∠CAE的度数是 105°或135° ．
【答案】（1）15°；（2）105°或135°．
【解答】解：（1）∵DE∥BC且∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴A，D，B三点在同一条直线上，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°；
（2）如图，当DE∥AB时，则有：AD∥AB，
∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝45°+60°＝105°；
如图，当DE∥AC时，则有：
∠DAC＝∠ADE＝90°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝90°+45°＝135°；
综上所述，∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数为105°或135°，
故答案为：105°或135°．
19．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α （0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α＝ 22 度．
【答案】22
【解答】解：∵∠2＝∠1＝112°（对顶角相等），
∴∠3＝360°﹣90°×2﹣112°，
＝68°，
∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，
∴旋转角∠α＝∠BAB′＝22°．
故答案为：22．
20．如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．
（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．
（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值．
【答案】（1）∠ABF＝75°；
（2）所有满足条件的t的值为15或60或105或150；
（3）所有满足条件的t的值为30或120．
【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠CDE＝∠E＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°；
（2）如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
当DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°，
∴t＝15；
当DE在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°，
∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，
∴AP∥DF′，
∴∠F′DP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°，
∴t＝105；
②当BC∥DF时，
当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN＝∠BTN，
∵GH∥MN，
∴∠BTN＝∠ABC＝60°，
∴∠FDN＝60°，
即180°﹣2t°＝60°，
∴t＝60；
当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN＝∠BTM，
∵GH∥MN，
∴∠BTN＝∠ABC＝60°，
∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝120°，
∴∠NDF＝120°，
即2t°﹣180°＝120°，
∴t＝150，
综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150；
（3）由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
当DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
当DE′在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°，
∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，
∴AP∥DF′，
∴∠F′DP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
当DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
21．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB，CD外部，若∠B＝50°，∠D＝25°，则∠BPD＝ 25 °
（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB，CD内部，则∠B，∠D，∠BPD之间有何数量关系？证明你的结论．
（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图ƒ（3），若∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠B＝50°，
由三角形的外角性质得，∠BPD＝∠BOD﹣∠D＝50°﹣25°＝25°；
故答案为：25．
（2）解：∠B+∠D＝∠BPD．
理由如下：如图，延长BP交CD于E，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠B，
由三角形的外角性质得，∠BED+∠D＝∠BPD，
所以，∠B+∠D＝∠BPD；
（3）解：如图，延长BP交CD于E，
由三角形的外角性质得，∠BED＝∠B+∠BMD，
∠BPD＝∠BED+∠D，
所以，∠BPD＝∠B+∠BMD+∠D，
∵∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，
∴90°＝∠B+40°+∠D，
解得∠B+∠D＝50°．
22．如图1，点O为直线AB上的一点，过O点作直线OC，使∠BOC＝120°，将一块含30°、60°的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．
问：此时三角板旋转的角度为 60 °．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度逆时针方向旋转．
①若旋转一周，在旋转过程中，直线ON恰好平分∠AOC时，求旋转的时间t值．
②若旋转过程中，直线MN∥直线OC，求旋转的时间t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，
∴∠BOM=12∠BOC=12×120°＝60°，
即三角板旋转的角度为60°．
故答案为60；
（2）①∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BON=12∠AOC＝30°，
即旋转60°时ON平分∠AOC，
由题意得，6t＝60°或240°，
∴t＝10或40；
②如图3．
∵MN∥OC，
∴∠M＝∠COM＝30°，
∴∠BOM＝90°，
即旋转角为90°，
∴t＝90÷6＝15（秒）；
如图4：
∵MN∥OC，
∴∠ONM＝∠AOC＝60°，
∴点N在AB上，
∴旋转角为270°，
∴t＝270÷6＝45（秒）．
即t的值为：15秒或45秒．
题型1 生活中的旋转现象
题型2 旋转的性质