数学七年级下册（2024）垂线优质学案

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▉题型1 垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
1．如图，∠AOB＝40°，B、O、D三点在一条直线上，CO⊥OA，则∠COD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．130°
【答案】D
【解答】解：∵CO⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝50°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝130°．
故选：D．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．45°D．65°
【答案】B
【解答】解：由直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，
得∠BOD＝∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
3．有下列四种说法：
①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；
④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 ③ ．
【答案】③．
【解答】解：①在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故①不符合题意；
②一个角的补角不一定大于这个角，故②不符合题意；
③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等，正确，故③符合题意；
④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交或平行，故④不符合题意．
∴其中正确的是③．
故答案为：③．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1：∠2＝2：1，则∠COF的度数为 75° ．
【答案】75°
【解答】解：因为OE⊥AB，
所以∠1+∠2＝∠BOE＝90°，
因为∠1：∠2＝2：1，
所以∠2=13∠BOE=13×90°＝30°，
所以∠BOC＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
因为OF平分∠BOC，
所以∠COF=12∠BOC=12×150°=75°．
故答案为：75°．
5．如图，若AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是 在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ．
【答案】在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解：∵AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，
∴A、B、C三点在同一直线上，
理由是：在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故答案为：在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB．
（1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOD：∠EOD＝1：2，求∠COF的度数．
【答案】（1）∠COE＝110°；（2）∠COF＝54°．
【解答】解（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∵∠COF＝50°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=12∠AOD=70°，
∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝110°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE，
∵∠BOD：∠EOD＝1：2，
∴∠BOD：∠EOD：∠AOE＝1：2：2，
∴∠BOD=180°×15=36°，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠COF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1＝42°，求∠2和∠3的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∵∠1＝42°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣42°＝48°，
∴∠AOD＝180°﹣∠3＝132°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠2=12∠AOD＝66°．
8．如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：
∠3＝∠1＝30°（对顶角相等）
∵AB⊥CD（已知）
∴∠BOD＝90°（垂直的定义）
∴∠3+∠2＝90°
即30°+∠2＝90°
∴∠2＝60°
▉题型2 垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
9．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】C
【解答】解：汽车站应建在C处的依据是“垂线段最短”．
故选：C．
10．如图，A处有个雨污分流工厂，计划铺设一条雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场．已知AP⊥PQ，AQ⊥QR，AR⊥l，以下挖渠方式能使管道最短的是（ ）
A．AOB．APC．AQD．AR
【答案】B
【解答】解：∵AP⊥PQ，
∴AP＜AQ，AP＜AO，
∵AQ⊥QR，
∴AQ＜AR，
∴挖渠方式能使管道最短的是AP．
故选：B．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积=12•AB•PC=12•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
12．如图，现要从村庄A修建一条连接公路CD的最短小路，过点A作AB⊥CD于点B，沿AB修建公路，则这样做的理由是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短．
【解答】解：过点A作AB⊥CD于点B，沿AB修建公路，则这样做的理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
13．如图，点P是直线l外一点，点A，B，D在直线l上，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 PC ，理由是 垂线段最短 ．
【答案】PC；垂线段最短
【解答】解：∵点A，B，D在直线l上，PC⊥l于点C，
∴在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是PC，理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
14．如图，要把供暖输水管道AB中的水引到居民小区P，点C，D，E都在AB上，且PE⊥AB，则沿线段PE铺设管道可使费用最低，原理是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短
【解答】解：沿线段PE铺设管道可使费用最低，原理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
▉题型3 点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
15．下列图形中，线段AD的长度表示点A到直线BC距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
故选：D．
16．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中错误的为（ ）
A．AB⊥AC
B．点C到AB的垂线段是线段CA
C．点A到BC的距离是线段AD
D．线段CD的长度是点C到AD的距离
【答案】C
【解答】解：A、∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故不符合题意；
B、∵∠BAC＝90°，∴点C到AB的垂线段是线段CA，故不符合题意；
C、点A到BC的距离是线段AD的长度，故符合题意；
D、线段CD的长度是点C到AD的距离，故不符合题意；
故选：C．
17．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
18．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（ ）
A．7mB．6mC．5.5mD．4m
【答案】D
【解答】解：∵PM＝7m，PN＝5m，
∴点P到直线MN的距离小于5cm．
故选：D．
19．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，则点P到直线m的距离（ ）
A．不大于3B．等于3C．小于3D．不小于3
【答案】A
【解答】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于3，
故选：A．
20．如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（ ）的长．
A．POB．ROC．OQD．PQ
【答案】C
【解答】解：∵OQ⊥PR，
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选：C．
21．如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，点A到直线BD的距离是（ ）
A．线段AD的长度B．线段BC的长度
C．线段AB的长度D．线段BD的长度
【答案】A
【解答】解：∵BD⊥m，点A在直线m上，
∴点A到直线BD的距离是线段AD的长度．
故选：A．题型1 垂线
题型2 垂线段最短
题型3 点到直线的距离