华东师大版（2024）七年级下册（2024）多边形的内角和与外角和精品学案设计

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▉题型1 多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
1．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形
2．从六边形的一个顶点出发，可引出的对角线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
3．从六边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个六边形分割成 个三角形．
4．一个五边形共有 条对角线．
5．从某多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，把这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是 ．
▉题型2 多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
6．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（ ）
A．六边形B．九边形C．八边形D．十边形
7．正十边形的每一个内角的度数是（ ）
A．144°B．162°C．180°D．198°
8．如果一个正多边形的边数增加1，那么关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ）
A．内角和外角和均增加180°
B．内角和不变，外角和增加180°
C．外角和不变，内角和增加180°
D．内角和外角和均不变
9．已知一个正多边形的边长为5，内角和为1080°，则这个正多边形的周长是（ ）
A．5B．20C．30D．40
10．若一个多边形每一个内角都是135°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
11．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，再沿直线前进8米后，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米．
A．56B．64C．80D．72
12．如图，∠A＝40°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
13．已知多边形的各个内角都等于150°，则这个多边形的边数为 ．
14．如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
15．如果多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是 ．
16．已知一个正多边形的每个外角为45°，则这个多边形的内角和度数是 ．
17．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x＝ ．
18．经测量，一个正多边形零件的每个内角都等于120°，则是这个多边形有 条对角线．
19．如图，∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠AOB，∠3+∠2＝90°，试说明：∠BOE=12∠BOC．
请完成下列过程．
解：因为∠AOB与∠BOC互为补角（已知），
所以∠AOB+∠BOC＝ （补角的定义），
即∠1+∠2+∠3+∠4＝ ，
又因为∠2+∠3＝90°（已知），
所以∠1+∠4＝ （等式的基本性质），
即1∠1与∠4互余，∠2与∠3互余（ ）
因为OD平分∠AOB，
所以∠1＝∠2（ ）．
所以∠3＝∠4（ ），即∠BOE=12∠BOC．
20．如图①，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的一点，连接EA，EC．
（1）【探究猜想】
①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝ ；
②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝ ；
③猜想图①中∠A，∠C，∠AEC的关系，并证明你的结论；
（2）【拓展应用】
如图②，AB∥CD，线段MN把四边形ABDC这个封闭区域分为Ⅰ、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB，∠END，∠MEN的关系．
题型1 多边形的对角线
题型2 多边形内角与外角