华东师大版（2024）七年级下册（2024）第8章 三角形8.2 多边形的内角和与外角和第1课时学案及答案

这是一份华东师大版（2024）七年级下册（2024）第8章 三角形8.2 多边形的内角和与外角和第1课时学案及答案，共6页。学案主要包含了学习要求，学习重难点，学习过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解等内容，欢迎下载使用。
【学习要求】
知识与技能
1．理解多边形的概念和正多边形的概念．
2．了解多边形的内角、对角线等概念．
3．掌握多边形内角和定理．
过程与方法
经历质疑、猜想、归纳等活动，发展推理能力，积累数学活动的经验．
【学习重难点】
重点：多边形内角和定理的探索和应用．
难点：多边形的内角和定理的推导．
【学习过程】
【情景导入，初步认识】
什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？
【思考探究，获取新知】
探究1 多边形的概念
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形．记为△ABC.
四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形．记为四边形ABCD.
五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形．记为五边形ABCDE.
一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
注意：(1)我们现在只研究多边形，如图②③；
(2)图④也是多边形，但不是我们现在研究范围．
(3)与三角形类似，如图⑤，∠A，∠D，∠C，∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．
探究2 正多边形
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．
如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
探究3 多边形的内角和
我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？
由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，已知一个三角形的内角和等于180度，这样就可以求出多边形的内角和．
根据分析，完成下表：
归纳结论
n边形的内角和为 (n－2)·180°.
探究4 多边形对角线的条数
你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？
分析：n边形从一个顶点可以画出(n－3)条对角线，n边形共有n个顶点，这样n边形一共可以画n(n－3)条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以n边形一共有eq \f(n（n－3）,2)条对角线．
【运用新知，深化理解】
1．四边形的内角和为__360__度，四个内角中最多可有__3__个锐角．
2．若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺次是__24°，72°，120°，144°__.
3．(1)一个多边形的内角和等于2 340°，求它的边数；
(2)一个正多边形的一个内角为150°，它是几边形？
解：(1)设边数为n，则有(n－2)·180°＝2 340°，
n－2＝13，n＝15.
(2)设这个多边形为n边形，
则有(n－2)·180°＝150°n，n＝12，
∴这个正多边形是正十二边形．
4．(1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n边形呢？
解：(1)四边形有两条对角线．
(2)如图，以A为顶点的对角线有两条AC，AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA，DB与AD，BD分别表示同一条线段，
∴只有5条，依此类推六边形有9条对角线．
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n－3)条，那么n个顶点就有n(n－3)条，但其中每一条都重复计算一次，
∴n边形一共有eq \f(n（n－3）,2)条对角线．
5．已知多边形的内角和等于1 440°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)求过一个顶点有几条对角线；
(3)求总对角线的条数．
解：(1)(n－2)·180°＝1 440°，
解得n＝10.
(2)n－3＝10－3＝7.
(3)eq \f(n（n－3）,2)＝eq \f(10×（10－3）,2)＝35.
答：这个多边形边数是10，过一个顶点的对角线有7条，总对角线共有35条．多边形的边数
3
4
5
6
…
n
分成的三角形个数
1
2
3
4
…
n－2
多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
…
(n－2)·
180°