高中数学8.3 简单几何体的表面积与体积学案

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 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
导学案
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【学习目标】
1..会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积
3.了解球的体积和表面积公式
【自主学习】
知识点1　　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
1．圆柱的表面积
(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长．
(2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(l＋r)．
2．圆锥的表面积
(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l＋r)．
3．圆台的表面积
(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到．
(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝π(r＋r′)l，表面积S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)．
4．球的表面积
若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.


知识点2　　　圆柱、圆锥、圆台、球的体积
1．圆柱的体积
(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)若圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h.
2．圆锥的体积
(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)若圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h.
3．圆台的体积
若圆台的上、下底面半径分别为r′、r，高为h，其体积V＝πh(r′2＋r′r＋r2)．

4．球的体积
若球的半径为R，那么它的体积V＝πR3.

【合作探究】
探究一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算
【例1】(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)
A.　　　B.　　　C．64π　　　D．128π
(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π)
【答案】　(1)A　(2)1 100π
[分析]　(1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解．
[解析]　(1)设圆锥的底面半径为r，母线为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πrl＝πr2＝16π，
解得r＝4，∴l＝4，
圆锥的高h＝＝4，
∴圆锥的体积V＝Sh＝×π×42×4＝.故选A.
(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，

因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10 cm，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.

归纳总结：解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积

【练习1】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l.

如图所示，当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，
∴V圆柱＝πr2h＝，
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，
∴V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
探究二 球的表面积和体积的计算
【例2】(1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A．23　　　　　　　　　 B．49
C. D.
(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．
(3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

【答案】　(1)B　(2)　(3)4
[分析]　利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解．
[解析]　(1)两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.
(2)两个小铁球的体积为2×π×13＝，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积π×R3＝，所以大铁球的半径为.
(3)设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.
则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，
即2r＝8，所以r＝4 cm.

归纳总结：求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
(1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.

【练习2】一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解：当截面在球心同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.

设球的半径为R，
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm，
同理，得O1A＝20 cm.
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm，
在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，　　　①
在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2, ②
联立①②可得x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，故球的表面积为2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
设球的半径为R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm，
∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm，
设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x) cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400，
在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.
∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.

探究三 几何体的“切”“接”问题
【例3】(1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)
A．4π(r＋R)2　　　　　　 B．4πr2R2
C．4πrR D．π(R＋r)2
(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝4，AC＝3，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A.　　B．2　　　C.　　　D．3
【答案】　(1)C　(2)C
[分析]　(1)作出球与圆台相切的轴截面．
(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球O的半径．
[解析]　(1)如图为球与圆台的轴截面，过D作DE⊥BC，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝(舍负)．故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.


(2)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.


归纳总结：解决几何体与球相切或相接的策略
(1)要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算

【练习3】如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．


解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示，易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1.
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.

课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为(　　)
A．πQ　 B．2πQ　　　　
C．3πQ　　　　 D．4πQ
【答案】B　[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π··＝2πQ.故选B．]
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
【答案】C　[圆台的轴截面如图，　
由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A．7　　　　 B．6　　　　
C．5　　　　 D．3
【答案】A　[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]
4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A．倍　　　B．倍　　　C．2倍　　　D．3倍
【答案】B　[设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.]
5．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　)
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．12 cm
【答案】D　[由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12.]
6．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．2π B．3π
C．4π D．6π
【答案】B　[由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S＝π×12＋×4×π×12＝3π.]
7．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为(　　)
A． B． C． D．4π
【答案】B　[根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝πr3＝.]
8．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2 B．2
C．3 D．2
【答案】A　[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝＝2.故选A．
]
9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是(　　)
A．1∶3 B．1∶ (－1)
C．1∶9 D．∶2
【答案】B　[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶，故截面把圆锥母线分为1∶(－1)两部分，故选B．]
10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B． C． D．
【答案】B　[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝＝.
∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.
故选B．]
二、填空题
11．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
【答案】3　[设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.]
12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．


【答案】　[设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
∴＝＝.]
13．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
【答案】2　[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]
14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
【答案】3　[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)．]
15．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．

【答案】 cm3　[180°＝×360°，∴l＝20，
h＝10，V＝π(r＋r＋r1r2)·h＝ (cm3)．]
三、解答题
16．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[解]　设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝πl，得l＝6r.
又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圆锥的高h＝＝5，
V＝πr2h＝π××5＝π.
17．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？

[解]　因为圆锥形铅锤的体积为×π××20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为x cm，则小圆柱的体积为πx＝100πx.
所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.
故杯里的水将下降0.6 cm.
18．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

[解]　该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
19．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
[解]　因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，
也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，

设O′C＝r，OC＝R，
则球半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O′CO中，
由题设知sin∠O′CO＝＝，
所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，
即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10.
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1 200π.
球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π.

B组 能力提升
一、选择题
1.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为(　　)

A．24π　　　　　　　　 B．28π
C．32π D．36π
【答案】C　[由题意知球的半径R＝4，所以球的表面积为4πR2＝64π.设圆柱的底面半径为r，高为h，则r2＋＝42，得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2，所以圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π＝2π＝4π＝4π(0＜r＜4)，所以当r2＝8，即r＝2时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π－32π＝32π.]
2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(　　)
A．4∶3 B．3∶1　　　
C．3∶2　　　 D．9∶4
【答案】C　[作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝R，

则l＝＝2R，所以 ＝＝＝.]
3．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　[设圆柱底面半径为r，高为h，则
∴r＝，h＝.
∴V＝πr2·h＝π·＝.]
二、填空题
4．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．

【答案】　[采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.]
5． 圆柱内有一个内接长方体ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm.
【答案】5　10　[设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：

所以
即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm.]
6．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

[解]　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示，
易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，所以r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
7．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球. 若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.
【答案】　[当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.]
8．将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A．

(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；
(2)求出截得棱柱的体积的最大值．
[解]　(1)横截面如图长方形所示，
由题意得A＝x·(0
(2)V＝1·x＝，
由上述知0 即截得棱柱的体积的最大值为2.
三、解答题
9．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
[解]　(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)＝96π(m2)．
(3)因为V2>V1，S2 所以方案二比方案一更加经济．
10．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．
解：如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，所以CD＝AC＝2，


所以AC＝4，AD＝×4＝2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
所以＝.
设OE＝R，则AO＝2－R，
所以＝，所以R＝.
所以V球＝πR3＝π·3＝.
所以球的体积等于.