第七章 复数（单元测试 能力提升）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

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第七章 复数（B卷能力提升）——高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在( )A.第一象限内 B.第二象限内C.第三象限内 D.第四象限内2.若复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则复数( )A.1 B. C.i D.3.已知复数，，，若，同时满足和，则为( )A.1 B. C.2 D.4.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若复数z满足（i为虚数单位），则z的模( )A. B.1 C. D.56.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则( )A.的虚部为 B.对应的点在第二象限C. D.8.已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是( )A.复数z的模为2B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为D.复数z在复平面内对应的点在第一象限二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是( )A.复数z的模为B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为D.复数z在复平面内对应的点在第一象限10.已知复数，以下说法正确的是( )A.z的实部是3B.C.D.z在复平面内对应的点在第一象限11.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( )A.z的共轭复数为 B.z在复平面内对应的点在第二象限C.若，则的最大值是 D.z的虚部为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的实部与虚部之和为___________.13.若复数，则____.14.已知是虚数单位，化简的结果为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）已知复数，（其中）.（1）若为实数，求m的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p，q的值.16.（15分）设是虚数，是实数，且，.（1）求的值以及的实部的取值范围；（2）求证为纯虚数；（3）求的最小值，17.（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：（1）（2）（当时，为纯虚数）（3）（4）（5）.（6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商.请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：（1）设，.求证：是实数；（2）已知，，，求的值；（3）设，其中x，y是实数，当时，求的最大值和最小值.18.已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.19.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④.（1）设，，求和；（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由；（3）设，集合，.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的.答案以及解析1.答案：A解析：复数为纯虚数，，，复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限.故选：A.2.答案：C解析：因为复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，所以，所以.故选：C3.答案：C解析：设，则，，由和，所以且，即且，解得或，所以、（或、），则（或），所以.故选：C.4.答案：A解析：设，则.因为，则，可得，解得，即，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.5.答案：B解析：由，得，所以.故选B.6.答案：A解析：当，均为纯虚数时，设，，则有，当时，显然，但是“，都不是纯虚数”，因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件，故选：A7.答案：C解析：由可知，则逆时针旋转后相应点为，所以，即，其虚部为，故A错误；，其对应的点在第三象限，故B错误；，，故C正确；则，故D错误，故选：C8.答案：D解析：，则，，故A错；复数z的共轭复数为，故B错；复数z的虚部为，故C错；复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确故选：D.9.答案：CD解析：，则，∴，故A错，复数z的共轭复数为，故B错；复数z的虚部为，故C正确；复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确，故选：CD10.答案：ABC解析：，则z的实部是3，故A正确；，B正确；，C正确，z在复平面内对应的点的坐标是，在第四象限，故D错误.故选ABC.11.答案：AC解析：因为，所以，对于A，利用共轭复数的定义可知，故A正确；对于B，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B错误；对于C，由复数模的三角不等式可得，故C正确；对于D，z的虚部为-1，故D错误.故选：AC12.答案：5解析：由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5.故答案为：5.13.答案：解析：，，故答案为：14.答案：解析：.故答案为：.15.答案：(1)(2)解析：(1)，因为为实数，所以，解得.故为实数时，m的值为.(2)当时，，，则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得.16.答案：(1)，(2)证明见解析(3)1解析：(1)设，则因为是实数，所以，即，因为，所以，即，且，由，得，解得，即的实部的取值范围为；(2)∵，，因为，，所以为纯虚数；(3)，由，故，当且仅当，即时，取最小值1.17.答案：(1)证明见解析(2)(3)，解析：(1)设，，，，，，，且，是实数；(2)设，则，，，，①又，②，联立①②，解得，，；(3)，设，则，，，，.18.答案：(1).；(2)解析：（1）因为，则，所以为纯虚数，所以，解得.解得，因此，.（2）因为，则，因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.因此，实数a的取值范围是.19.答案：（1）；（2）答案见解析（3）答案见解析解析：（1）由，，得，；（2）设，，，、、、、、，，，，，因为，，所以，故正确；（3）不妨令，则，则，当，时取得最小值2，此时，设满足条件的，，，则，，