江西上饶市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题含答案

这是一份江西上饶市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线l：2x−3y−1=0的斜率为（ ）
A．32B．−32
C．23D．−23
2．在空间直角坐标系中，已知点A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(2,1,3)，则AB→−AC→=（ ）
A．(1,−1,2)B．(−1,1,−2)
C．(3,1,2)D．(−3,−1,−2)
3．若P(A|B)=34，P(A¯)=14，则事件A与B的关系是（ ）.
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B互斥又相互独立
4．“嘉游赣”是江西省总工会组织的，旨在提高全省职工生活品质、缓解工作压力的一项文旅活动.元旦期间，上饶某学校高二年级数学组有6位老师相约去了著名的国家5A景区——上饶市三清山景区观看雪景.神女峰前，白雪轻洒，神女犹如身披白色婚纱，寓意极好，于是大家提议拍照照留念.6人中恰好3对夫妻，故拍照时要求夫妻相邻，而非夫妻关系的老师同性别相邻，则共有（ ）种不同的排位方法.
A．12B．16
C．24D．48
5．已知随机变量X∼N(1,σ2)，且P(X≤−3)=P(X≥2a−1)，则ax−1x10的展开式中1x8的系数为（ ）
A．20B．30
C．−20D．−30
6．若一个正三角形在平面α上的投影为等腰直角三角形，则该正三角形所在平面与平面α的夹角的正切值为（ ）
A．3B．2
C．33D．22
7．已知由椭圆C1：x2a2+2y23=1a2>32与椭圆C2：x2+y2a2=1的交点连线可构成矩形ABCD（点A，B在x轴下方），且BC=3CD，则a2的值为（ ）
A. 85B.4
C. 52D. 72
8. 两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“V”型管道，若这两个正三棱柱钢管长为10cm，底面边长为2cm，且截面与底面所成角为π3，则能顺利地从管道的一端通过到管道另一端（管壁的厚度忽略不计）的球最大半径为（ ）cm.
A. 5−12B. 36
C. 5−14D. 33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l：x−2y+2=0，则下列说法正确的是（ ）
A. l与直线2x+y+1=0垂直
B. l在x轴上的截距为2
C. l与圆x2+y2=1相离
D. l与直线x−2y−3=0之间的距离为5
10. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（ ）
A. 若采取有放回摸球，E(X)=65
B. 若采取不放回摸球，则D(X)=1825
C. 若采取有放回摸球，则D(X)=1825
D. 若采取不放回摸球，则P(X=2|Y>5)>P(Y=5|X=2)
11. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与圆E:x2+y2−2x=0的圆心重合，直线l与C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，且满足OA→·OB→=0（其中O为坐标原点且A，B均不与O重合），则（ ）
A. x1x2=16，y1y2=−16
B. 直线l恒过定点(4,0)
C. ∆AOB面积的最小值为16
D. AB中点轨迹方程：y2=2x−4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. C63+C64=____.
13. 已知正四面体P−ABC，直线l是底面三角形ABC外接圆在点A处的切线，则直线l与侧面PAB所成角的正弦值为____.
14. 已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，双曲线E在第一象限上的任意一点B都满足∠BFA=2∠BAF，则该双曲线的离心率为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x−y−4=0，点C(3,0).
（1）求直线CD的方程；
（2）求AB边上的高CE所在直线的方程.
16.（1）已知动直线l1：mx−y−m+1=0，圆C：x2+y2=4，求直线l1与圆C相交的最短弦长；
（2）已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,−2)两点，且圆心C在直线l：x−y+1=0上，P(x,y)是圆C上任意一点，求x+y的取值范围.
17. 如图，在三棱锥D−ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，BD=5，且二面角D−BC−A与二面角D−AB−C均为π3.
（1）求点D到底面ABC的距离；
（2）证明：侧棱BD上不存在点P使得BD⊥平面PAC。
18. 有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为23，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，以线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标系。记折痕与ME的交点Q的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C外一点P(x0,y0)作该曲线的两条切线，切点分别为A，B，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2=−14。
①求P点轨迹方程；
②求证：∆PAB的面积为定值。
19. 材料一：上饶是江西省下辖的地级市，位于江西省东北部，地处赣、浙、闽、皖四省交界，素有“豫章第一门户”“八省通衢”之称，行政区域划分如下左图。
材料二：以足球为纽带，向全国生动展现上饶乡村振兴的蓬勃生机与活力，上饶市拟举办“大美上饶快乐县超”足球赛活动。赛事规则：（1）上饶每个县、市、区各一支代表队参赛，共12支队伍；（2）比赛共分成弋阳、婺源两个赛区进行，每场对决无平局；（3）赛程分为两个阶段，第一阶段为12支队伍通过抽签分为3组，每组4支队伍，其中弋阳赛区1个小组为单循环赛（小组内每两支代表队打一场比赛，胜一场得3分，负一场得0分，积分高的第一、二名晋级决赛），婺源赛区2个小组为淘汰赛（小组内代表队先抽签两两对决，输一场即淘汰，无平局，对阵图如下右图），两个赛区共4支队伍晋级；（4）第二阶段亦为淘汰赛，由弋阳赛区第一名对决婺源赛区第二名，弋阳赛区第二名对决婺源赛区第一名，两场胜者再对决，获胜者为冠军。
已知余干县、玉山县、广丰区、信州区4支代表队为第一梯队，其余8支代表队为第二梯队，同一梯队的代表队相互对决彼此获胜概率为12，第一梯队代表队对决第二梯队代表队获胜概率为23，每场对决结果相互独立.
（1）现有4种颜色，对地图进行涂色，要求相邻县市区不同色.只涂染上饶西部三个县（余干县、鄱阳县、万年县），有多少种涂染方法？若只涂染东部9个县市区（除余干县、鄱阳县、万年县以外），有多少种涂染方法？
（2）根据抽签结果得知，信州区、广信区、弋阳县和鄱阳县4支代表队分在弋阳赛区；其余8支代表队分在婺源赛区的2个小组中，且同一小组的代表队所在县市区在地图上的涂色恰好可以完全相同，
①求广丰区代表队从婺源赛区出线的概率；
②当信州区代表队三战全胜从弋阳赛区出线，求广丰区代表队与余干县代表队会师决赛并夺得此赛事冠军的概率.
1．C
2．B
3．C
4．A
5．D
6．B
7．A
8．D
9．AD
10．AC
11．ABC
12．35
13．63
14.2
15.（1）2x−y−6=0
（2）x+2y−3=0
（1） ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD∴kCD=kAB=2。
∴直线CD的方程为y=2(x−3)，即2x−y−6=0。
（2） ∵CE⊥AB，∴kCE=−1kAB=−12。
∴直线CE的方程为y=−12(x−3)，即x+2y−3=0。
16.（1）22；（2）−5−52,−5+52
（1）直线l1可化为m(x−1)−(y−1)=0，所以直线l1经过直线x−1=0与y−1=0的交点P(1,1)，弦长公式为2r2−d2（d为圆心到直线的距离），因为r是定值，所以弦长最短等价于d最大，而直线l1恒过定点P(1,1)，圆心C到直线l1的距离d≤|OP|；
当且仅当OP⊥l1时，圆心C到直线l1的距离最大，直线l1被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2r2−|OP|2=24−2=22.
（2）设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，r>0，因为圆心C(a,b)在直线x−y+1=0上，所以a−b+1=0，
又因为|CA|=|CB|，代入A(1,1)，B(2,−2)得：(a−1)2+(b−1)2=(a−2)2+(b+2)2=r2，
展开化简得a−3b=3，与方程a−b+1=0联立，
解得a=−3，b=−2，r=5
所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25，
若点P(x,y)在圆C上，则可设为x=−3+5csθ，y=−2+5sinθ，其中0≤θ