江西省上饶市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（含答案）

这是一份江西省上饶市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知向量，则，对于随机事件，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，则（ ）
A．10B．2C．0D．
6．是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（ ）个不同密码．
A．240B．180C．120D．72
7．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
8．椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．对于随机事件，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知曲线．点，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线关于原点对称
B．曲线存在点，使得
C．直线与曲线没有交点
D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中常数项为____________．
13．在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为____________．
14．如图所示，用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为2，为母线的中点，平面与底面的交线，则该双曲线的两条渐近线所成角的正弦值为____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）（1）解方程：（2）计算．
16．（本小题满分15分）已知，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）求的最小值和最大值．
17．（本小题满分15分）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
（1）若比赛为三局两胜制：
（I）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）求乙最终获胜的概率；
（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
18．（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：为定值；
（3）过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值．
19．（本小题满分17分）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；
过点，且法向量为n的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，
证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面，所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值．
2024-2025学年秋季学期高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．80 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．【解析】（1）因为，所以
又因为，所以，解得．
（2）法一：
法二：原式
16．解析：（1）设动点
即，整理得，
（2）就是，其半径是2，圆心．
∵，∴在圆外，
故的最小值是 最大值是
17．解析：（1）解：（i）所有可能的取值为2，3
，，
所以的分布列为：
（ii）乙最终获胜的概率；
（2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”．
则，
，故
18．解析：（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以∴，
所以抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：，
由，
设，则
由抛物线的定义得：，
所以：，即为定值1．
（3）由
设直线，联立得：
∴，直线，即
同理求得直线，
，则，
∴到的距离，
∴与的面积之积，
当时，与的面积之积的最小值1
19．解析：（1）由直线的点方向式方程为可知，
直线的一个方向向量坐标为，
由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
所以有，
所以，即直线与平面所成角的值．
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设两平面交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为， 因为，即，且，所以．
（3）因平面经过三点，可得，设侧面所在平面的法向量
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
故平面与平面夹角的余值为．1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
B
C
B
D
A
9
10
11
AC
ABD
BCD
2
3