江西省上饶市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省上饶市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线经过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线，则直线在轴上的截距为（ ）
A．4B．C．6D．
3．若直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（ ）
A．B．C．4D．2
7．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ）
A．0B．C．3D．2
10．已知曲线，则下列正确的有（ ）
A．若，则曲线的离心率为
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则为双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是圆，其半径为
11．已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线被圆截得的最小弦长为
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
三、填空题
12．顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 .
13．已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 .
14．若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．已知直线经过、两点．
(1)求直线的方程；
(2)设直线，若，求实数的值．
16．已知圆M过点
(1)求圆M的方程；
(2)过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程.
17．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
18．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值.
19．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点.
(1)求点的坐标，及双曲线的离心率；
(2)若线段AB的中点为，求直线的方程；
(3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
1．D
借助斜率公式计算即可可得.
【详解】直线的斜率为.
故选：D.
2．D
根据题意，令，求得，即可得到直线在轴上的截距，得到答案.
【详解】由直线的方程为，令，可得，解得，
所以直线在轴上的截距为.
故选：D.
3．C
利用两条直线互相垂直列式求解.
【详解】由直线与直线垂直，得，所以.
故选：C.
4．D
先根据已知条件得出圆心到轴的距离等于半径，再利用圆心坐标和半径得出圆的方程，最后对比判断选项即可．
【详解】圆心坐标为，且圆与轴相切，
圆的半径等于圆心到轴的距离，
圆的方程为：，故D正确．
故选：D．
5．B
由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得．
【详解】因为为的中点，而是中点，所以，
所以的周长是周长的一半，
又的周长为6，所以周长是12，
即，得，
又，所以，．
故选：B．
6．B
由题可得双曲线渐近线方程为，再由直线斜率为-1可得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，因为的两条渐近线相互垂直，
所以.，又，则.
故选：B.
7．D
先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.
故选：D．
8．A
由题意可得方程有且仅有两个不同的实数根，将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况.
【详解】关于的方程有且仅有两个不同的实数根，
所以，即方程有且仅有两个不同的实数根，
将方程转化为：半圆与直线有两个不同交点，
当直线与半圆相切时，有，解得，
所以半圆与直线有两个不同交点时.
直线一定过，
由图象知直线过时直线的斜率取最大值为1，
.
故选：A
9．AB
根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意，即,解得或.
故选：AB.
10．ACD
根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断.
【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确；
对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误；
对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确；
对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，
变形可得：，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，圆，其圆心为，半径为，
当时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误；
对于C，因为直线过定点，且点在圆内，
则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小，
此时圆心到直线的距离为，
所以最小弦长为，故C正确；
对于D，圆的方程，即，
其圆心为，半径为，需满足，
若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
则有，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．或
由直线方程求得与坐标轴的交点，根据已知焦点求得抛物线的标准方程，可得答案.
【详解】令得，令得，所以抛物线的焦点为或.
当焦点为时，抛物线方程为；焦点为时，抛物线方程为.
故答案为：或.
13．
设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解.
【详解】设动点，则，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
故答案为：.
14．/
不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设点，其中，且有，利用已知条件得出的值，再利用可求得该椭圆离心率的值.
【详解】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设，
设点，其中，则，，，
由题意可得，所以，
所以，
因此该椭圆的离心率为.
故答案为：.
15．(1)
(2)．
（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；
（2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值.
【详解】（1）直线经过、两点，
，
直线，即：．
（2）由，直线，，
得，解得，
即实数的值为．
16．(1)
(2)或
（1）利用待定系数法求圆的方程；
（2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程.
【详解】（1）设圆，
则，解得，满足，
所以圆的方程为，即.
（2）由（1）知，，半径，
设圆心到直线的距离为，则，即，解得，
当直线的斜率不存在时，为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设，故，解得，
此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
17．(1)
(2)或
（1）根据题意可得，进而解出即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，

则，解得或，满足，
则或.
18．(1)
(2)存在，，的最小值为13
【详解】（1）由题意知，椭圆的右焦点为，则，，
所以抛物线的方程为.
（2）存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下：
如图所示，根据抛物线的定义得，
所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，
此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为，
联立，解得或（舍去），则点，
此时最小，且最小值为，
因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，
且的最小值为13.
19．(1)，
(2)
(3)过定点，定点坐标为．
【详解】（1）由题可得：，
所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为：
（2）由消去整理得，，
则，且，
设，则，
由为的中点，可得，
解得，满足，
所以直线l的方程为，即.
（3）由（2）知，．且，
则
，
因以为直径的圆恒过点P，则有，
即，解得或，
当时，直线过，不符合题意；
当时，直线过定点，
所以直线l过定点，该定点坐标为.