江西九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高二数学试题含答案

这是一份江西九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高二数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系中，点M(1,1,0)，N(0,1,2)，则|MN|=（ ）
A．3B．5
C．2D．3
2．已知集合A={1,2,3,4}，B={x∣x2−3x=0}，则A∩B=（ ）
A．{1,2,3,4}B．{0,1,2,3,4}
C．{0,3}D．{3}
3．直线x−3y−1=0的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3
C．2π3D．5π6
4．三个数1，4，m成等比数列，m的值为（ ）
A．2B．8
C．16D．±16
5．椭圆x225+y216=1的右焦点F2到直线2x+y−1=0的距离为（ ）．
A．5B．3
C．33D．55
6．如图，在四面体OABC中，OA→=a，OB→=b，OC→=c，点M在OA上，且OM=2MA，N
为BC中点，则MN→等于（ ）
A．13a−23b+12cB．−23a+12b+12c
C．12a+12b−12cD．23a+23b+12c
7．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、
火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（ ）
A．12B．24C．72D．48
8．已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为圆x2+y2=a2+b2上一点，直线PF的倾斜角是30°，直线PF与双曲线的两条渐近线交于M、N两点，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3
C．2D．5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+2a2+⋯+2n−1an=n2+n2(n∈N∗)，则（ ）
A．a1=1
B．an=n+12n
C．{an}为递减数列
D．Sn=4−n+22n−1
10．已知复数z满足(1−i)z=2+3i，z¯是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为52
B．复数z¯在复平面中对应的点在第三象限
C．|z|=264
D．z>z¯
11．已知随机变量X服从正态分布N(μ,22)，随机变量Y服从正态分布N(9,σ2)(σ>0)，P(X≤9)=P(X≥13)=P(Y≥12)，且N(μ,22)和N(9,σ2)相应的分布密度曲线分别为M1，M2，则（ ）
A．μ=11
B．M1的对称轴在M2的对称轴的左边
C．σ=3
D．M1的最高点在M2的最高点的上方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12．椭圆x236+y29=1的离心率为______．
13．已知f(x)=x3−ax+2有三个零点，则a的范围是__________．
14．以F(2,0)为一个焦点，渐近线是y=±3x的双曲线方程是________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知A(2,1)是圆M：x2+y2+2x−4y+2a=0外一点.
（1）求a的取值范围；
（2）若a是负偶数，过点B(2,−4)作圆M的切线，求切线的方程.
16．已知圆C经过点(1,0)，圆心C在曲线y=2x(x>0)上，且直线x−y−1=0被圆C截得的弦长为22.
（1）求圆C的方程；
（2）过点M(−1,−2)作圆C的切线，求切线的方程.
17．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是2:2:3:2:1．
（1）求x的值；
（2）估计该校学生视力的平均值；
（3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率．
18．如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=22AB，且∆AA1C为等边三角形，D是AC的中点，A1D⊥AB.
（1）证明：AA1⊥BC；
（2）求平面ABB1A1与平面A1CB所成角的正弦值.
19. 已知函数f(x)=ekx−1，g(x)=1axa，其中常数k∈R，a≥1.
（1）当a=1时，y=g(x)是y=f(x)图象的一条切线，求k；
（2）当k=1时，∀x>0，有f(x)≥g(x)，求a的最大值；
（3）∃s，t>1，使得f(s)=g(t)，且f1s=g1t，请判断s与t的大小.
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
6．B
7．D
8．A
9.AD
10．AB
11．ACD
12. 32
13. (3,+∞)
14. x2−y23=1
15.（1）−52,52
（2）3x+4y+10=0或x=2.
（1）因为方程x2+y2+2x−4y+2a=0表示圆，
所以22+−42−8a>0，解得a0，解得a>−52，
所以a的取值范围为−52,52.
（2）由题可知a=−2，则圆M：x2+y2+2x−4y−4=0，
即(x+1)2+(y−2)2=9，圆M的圆心为M(−1,2)，半径为3.
当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=2，
此时圆心M(−1,2)到直线x=2的距离为3=r，故满足相切关系；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4=k(x−2)，即kx−y−2k−4=0，
则圆心M(−1,2)到直线kx−y−2k−4=0的距离为|−k−2−2k−4|1+k2=3，解得k=−34，
所以切线方程为−34x−y−52=0，即3x+4y+10=0.
故所求切线的方程为3x+4y+10=0或x=2.
16.（1）(x−1)2+(y−2)2=4
（2）x=−1与3x−4y−5=0
（1）设圆心C(a,2a)(a>0)，设圆心C到直线x−y−1=0的距离为d，直线x−y−1=0被圆C截得的弦长为l，由r2=d2+(l2)2，可得(|a−1|2)2+(222)2=(a−1)2+(2a)2，
整理得：(a−1)(3a+1)=0，解得a=1或−13（舍去）.
故圆心C(1,2)，圆上一点(1,0)，半径r=|2−0|=2，
故圆C的方程为：(x−1)2+(y−2)2=4.
（2）
当过(−1,−2)的直线的斜率不存在时，此时直线方程为x=−1，
圆心C(1,2)到直线x=−1的距离d=1−(−1)=2=r，故x=−1是圆C的切线；
当过(−1,−2)的直线的斜率存在时，可设切线为y+2=k(x+1)，
可化成一般式kx−y+k−2=0，圆心C到该直线的距离为2，即|2k−4|k2+1=2，
整理得4k=3，解得k=34，此时切线为y+2=34(x+1)，
化成一般式得3x−4y−5=0。
综上所述，过M点作圆C的切线方程为x=−1与3x−4y−5=0。
17.（1）x=1；（2）0.66；（3）15。
解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是2:2:3:2:1，故直方图中从左到右各组频率依次为0.2，0.2，0.3 ，0.2，0.1 ，而组距为0.2
故x=1
（2）设该校学生视力平均值为x¯，则
x¯=0.3×0.2+0.5×0.2+0.7×0.3+0.9×0.2+1.1×0.1=0.66
（3）由第3组至第5组的频率比为3:2:1得，从第3组抽取的人数为3人，记为a1，a2，a3；
从第4组抽取的人数为2人，记为b1，b2；从第5组抽取的人数为1人，记为c1， 则从这6人中随机抽取两名学生的情况有：
(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)
(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c1)
(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,c1)
(b1,b2)，(b1,c1)
(b2,c1)
共15种，
其中视力不低于0.8的有(b1,b2)，(b1,c1)，(b2,c1)共3种，
故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名
视力不低于0.8的概率为15.
18．（1）因为∆A1AC为等边三角形，且D是AC的中点，
所以A1D⊥AC，又A1D⊥AB，且AC∩AB=A，AC，AB⊂面ABC，
所以A1D⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC，
因为AC=BC=22AB，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，
又A1D∩AC=D，AC，A1D⊂平面A1AC，所以BC⊥平面A1AC，
因为AA1⊂平面A1AC，所以AA1⊥BC.
（2）设AC=BC=2，取A1C1的中点为E，连接CE，得A1D∥CE
由（1）知：A1D⊥平面ABC，所以CE⊥平面ABC，
以C为原点，分别以CA，CB，CE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
得A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(1,0,3)，C(0,0,0)，所以CA→=(1,0,3)，CB→=(0,2,0)，
BA→=(2,−2,0)，BA1→=(1,−2,3)，
设平面A1CB的法向量为m=(x1,y1,z1)，则{m→⋅CA1→=x1+3z1=0m→⋅CB→=2y1=0，
取x1=3，可得z1=−1，y1=0，所以m=(3,0,−1)，
设平面ABB1A1的法向量为n=(x2,y2,z2)，则
{n→⋅BA1→=x2−2y2+3z2=0n→⋅BA→=2x2−2y2=0，
取x2=3，可得z2=3，y2=3，所以n=(3,3,3)，
则cs⟨m，n⟩=m·n|m|·|n|=33+0−33+0+1×9+9+3=77，
所以平面ABB1A1与平面A1CB所成角的正弦值为1−cs2θ=427，
即平面ABB1A1与平面A1CB所成角的正弦值为427。
19.(1)k=1
（2）e
(3)s>t
（1） 已知函数f(x)=ekx−1，g(x)=1axa，当a=1时，g(x)=x，
设切点为(x0,y0)，则{ekx0−1=x0kekx0−1=1，由第二个式子ekx0−1=1k，代入第一个式子1k=x0，
再代入ekx0−1=1k得到e0=1k，解得k=1
（2）当k=1时，f(x)=ex−1，g(x)=1axa，
因为∀x>0，有ex−1≥1axa，两边取对数得x−1≥ln1a+alnx，
整理得x−alnx−1+lna≥0，设h(x)=x−alnx−1+lna，求导h'(x)=1−ax，
令h'(x)=0得x=a（唯一极小值点），
当00，a≥1，所以h'(s)>0，即h(s)在(1,+∞)上单调递增；
当s→1+时，h(s)→0，故t→e0=1（但t>1，故s不能等于1）
当s增大时，h(s)增大，t=eh(s)也增大，结合t>1，h(s)的单调性，可知h(s)
（因为s>1时，s2−1>0，k>0），故t=eh(s)>e0=1
由lnt=k·s2−12as，因为s>1，k>0，a≥1，所以lnt>0，即t>1，
再结合f(s)=g(t)和f1s=g1t的对称性，以及t>1，推得s>t