苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形练习

这是一份苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形练习，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆 DE上一点 A往地面拉两条长度相等的固定绳 AB与 AC ， 当固定点 B ， C到杆脚 E的距离相等，且 B ， E ， C在同一直线上时，电线杆 DE就垂直于 BC ． 工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A . 等边对等角
B . 等腰三角形“三线合一”
C . 垂线段最短
D . 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
2.Rt△ABO 与 Rt△CBD在平面直角坐标系中的位置如图， ∠ABO=∠CBD=90° ， 若点 A(23,−2) ， ∠CBA=60° ， BO=BD ，则点 C 的坐标是 （ ）
A . (2,23) B . (1,3) C . (3,1) D .(23,2)
3. 如下图，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
4.先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 15 ， 先要假设这五个正数（ ）
A . 都大于15
B . 都小于15
C . 没有一个小于15
D . 没有一个大于15
5.“证明：若 a2≠b2 ， 则 a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设（ ）
A . a2=b2 B . a=b C . a=−b D .a≠b
6.下列命题是假命题的是（ ）
A . 等边三角形的三个内角相等
B . 同位角相等，两直线平行
C . 若 x=3 ， 那么x=±3
D . 两个锐角之和一定是钝角
7.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A . 13 B . 12 C . 23 D . 不能确定
8.已知下列命题：
①若a 2≠b 2 ， 则a≠b；
②垂直于弦的直径平分这条弦；
③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）
A . ②③④ B . ①②④ C . ③④⑤ D . ①③⑤
9.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得 ∠B=60° ， 对角线 AC=10cm ， 最后用剩下的两根木条搭成了如图 3所示的图形，连接 BE ， 则图 3 中的 △BCE的面积为（ ）
A . 503cm2 B . 50cm2 C . 253cm2 D .25cm2
10.如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中B在A的北偏东 50°方向，C在B的正南方，且 BC=AB ， 则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A . 北偏西15°
B . 北偏东75°
C . 南偏西15°
D . 南偏东65°
二、填空题
1.《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线 l1:y=12x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线 l2:y=x于点 O1 ， 过点 O1作y轴的平行线交直线 l1于点 A1 ， 以此类推，令 OA=a1 ， O1A1=a2 ， …， On−1An−1=an ， 则 △A2024A2025O2025的面积 = ________ ．
2.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= ________ （度）
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有 ________ 个．
4.如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ________ ．
5.如图， D是等边三角形 ABC外一点， AD=3 ， CD=2 ， 则 BD的最大值是 ________ ．
6.如图，在面积为32cm 2的等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 ________ cm 2 ．
7.凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部，且四个内角均小于180度的四边形．在平面直角坐标系中，已知凸四边形 AOBC的边 OA=OB=BC≠AC ， 且点 O0,0 ， 点 A0,16 ， 点B在x轴的正半轴，如果对角线 OC把四边形 AOBC分割成了两个等腰三角形，那么点C的坐标为 ________ ．
三、作图题
1.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
2.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
3.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
四、综合题
1.建立模型：
（1） 如图 1，已知 △ABC ， AC=BC ， ∠C=90° ， 顶点 C在直线 l 上.操作：过点 A作 AD⊥l于点 D ， 过点 B作 BE⊥l于点 E ， 求证 △CAD≌△BCE.
模型应用：
（2） 如图2，在直角坐标系中，直线 l1： y=83x+8与 y轴交于点 A ， 与 x轴交于点 B ， 将直线 l1绕着点 A顺时针旋转 45°得到 l2 ， 求 l2的函数表达式.
（3） 如图3，在直角坐标系中，点 B(10 ， 8) ， 作 BA⊥y轴于点 A ， 作 BC⊥x于点 C ， P是线段 BC上的一个动点，点 Q(a，2a−6)位于第一象限内.问点 A、 P、 Q能否构成以点 Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点 Q的坐标；若不能，请说明理由.
2.数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片 ABCD（ AB＞ BC）折叠，点 C落在 BA边上的点 F处，折痕为 BE ， 连接 EF ， 然后将纸片展开.
（1） 四边形 BFEC的形状为 ________ ；
（2） 如图2，点 G是 BC上一点，且 CG= AF ， 连接 AG ， AM平分∠ GAB交 BE于点 M ， 连接 AE ， 猜想 AE和 ME的数量关系并加以证明；
（3） 在（2）的条件下，如图3，过点 M作 MN⊥ AG ， 垂足为点 N.
①求 BC−MNAG的值；
②若AN=21，GN=4，请直接写出AD的长度.
3.探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连接DE．
（1） 当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2） 当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3） 深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
4.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
​ ​​ ​
（1） 求证：AD⊥CF；
（2） 连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
五、解答题
1.（1）已知a+b＝5，ab＝2．求 a2+b2−3ab的值；
（2）已知等腰 △ABC的三边a、b、c为整数，且满足 a2+b2=4a+6b−13 ， 求 △ABC的周长．
2.在 △ABC中， AB=AC，∠BAC=90° ，
（1） 如图1，若 AD=AE，∠DAE=90° ， 直线 CE、BD交于点F， BF=1，FC=3 ， 求 △BFC周长．
（2） 如图2， ∠BMA=45°，BM=4 ， 连接 CM ， 求 △BMC的面积．
（3） 如图3， ∠BMA=45° ， 直线 AC、BM交于点N，过点A作 AQ⊥CM ， 直线 AQ、BM交于点P， MN=1，BP=2 ， 求线段 CM的长度．
3.如图1所示，一次函数 y=−x+4图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数 y=x+b的图象与x轴相交与点C，D是线段 BC的中点；
（1） 求b的值及点D的坐标；
（2） 如图2，E是线段 AB上一动点，F是E关于原点的对称点，连接 DE ， EF ， DF ， 当 S四边形BDFE=5S△BED时，求点E的坐标；
（3） 如图3，E是直线 AB上一动点，连接 OD ， CE ， 将 △BCE沿直线 CE翻折，使得B点的对应点 B1落在直线 OD上，求此时点E的坐标．
4.△ABE和 △AFC均为等腰直角三角形， ∠EAB=∠FAC=90° ．
（1） 如图1，连接 EC ， BF ， EC与 BF交于点 D ， 请问 EC ， BF有怎样的数量和位置关系？为什么？
（2） 如图2，连接 EF ， N是 EF中点，连接 NA并延长交 BC于点 M ． AM与 BC有怎样的位置关系？为什么？
六、阅读理解
1.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．
2.请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形 ABC内有一点 P ， 且 PA=2 ， PB=3 ， PC=1 ， 求 ∠BPC的度数和等边三角形 ABC的边长．
李明同学的思路是：
将 △BPC绕点 B逆时针旋转 60° ， 画出旋转后的图形（如图 2) ， 连接 PP' ．
（1） 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 ∠BPC= ° ， 等边 △ABC的边长为 ．
（2） 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形 ABCD内有一点 P ， 且 PA=5 ， BP=2 ， PC=1 ． 求 ∠BPC度数和正方形 ABCD的边长．
（3） 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ∠A=75° ， AB=22km ， AC=4km ， 工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 PA+PB+PC的最小值是 km ．